Injektiv, Surjektiv, Bijektiv

Question

Aufgabe:

f: ℝ -> ℝ: x -> x²

g: [0,∞[ -> [0,∞[: x -> x²

h: [0,∞[ -> ℝ: x -> sqrt(x)

Problem/Ansatz:

f: surjektiv, injektiv, bijektiv

g: surjektiv, injektiv, bijektiv

h: surjektiv, injektiv

Bei der h bin ich mir nicht sicher, was ist die Lösung der h und wieso? :)

Answer 1

Definition. Sei f:M→N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) =y für jedes y∈N mindestens eine Lösung x∈M besitzt, d.h.∀y∈N ∃x∈M: y=f(x).Weiterhin heißt f injektiv, falls die Gleichung f(x) =y für y∈N höchstens eine Lösung x∈M besitzt, d.h.∀x₁, x₂∈M: f(x₁) =f(x₂)  ⇔  x₁=x₂. Schließlich heißt f bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.

Comments

Dann wäre f und g bijektiv und bei der h weiß ich leider immer noch nicht, was richtig ist.

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sqrt(x) ist nur injektiv, da nicht alle Werte aus dem R Werte zugeordnet werden, weil die Defintionsmenge von 0 bis unendlich geht. Wäre das richtig?

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h bereits als surjektiv und injektiv erkannt. Dann ist h automatisch bijektiv.

"Schließlich heißt f bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist."

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Oder ist es bijektiv, weil sqrt(4) ist +-2 und so ist es mit allen Zahlen auf dem Definitionsbereich [0, unendlich), also alle R werden irgendwann mal getroffen

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Ja, alle nicht-negativen Zahlen werden auf alle reellen Zahlen abgebildet (und umgekehrt).

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Also dann:

f,g,h : bijektiv

Ist das richtig?

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Nein - nicht richtig. Über f und g hatten wir uns bisher nicht ausgetauscht, weil deine Frage sich ursprünglich nur auf h bezog.

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Verzeihe, was stimmt denn jetzt zu h?

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h bildet alle nicht-negativen Zahlen auf alle reellen Zahlen ab (und umgekehrt).

Fazit:

h: surjektiv, injektiv und folglich auch bijektiv.

Answer 2

In gewissen Fachkreisen hat sich folgende Vorgehensweise etabliert:

Betrachten wir die Gleichung \(y=f(x)\), für eine gegebene Abbildung \(f:M\to L\) Eine Gleichung ist oft mit der Aufgabe verbunden:

Zu gegebenem \(y\in M\) finde man alle Lösungen \(x\in M\), d. h. alle Elemente \(x\in M\) mit \(f(x)=y\).

Dann ist:

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f injektiv \(\Leftrightarrow\) die Gleichung hat höchstens eine Lösung \(x\) für jedes \(y\)

f surjektiv \(\Leftrightarrow\) die Gleichung hat mindestens eine Lösung \(x\) für jedes \(y\)

f bijektiv \(\Leftrightarrow\) die Gleichung hat genau eine Lösung \(x\) für jedes \(y\)

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Als Beispiel:

Zu \(g: [0,\infty[ \to [0,\infty[: x\mapsto x^2\)

Dann hat \(y=x^2\) genau eine Lösung \(x\in [0,\infty[\) für jedes \(y\in [0,\infty[\), nämlich \(x=\sqrt{y}\)

Comments

Danke für deine Antwort.

f,g,h : bijektiv, stimmen meine Ergebnisse?

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Nein \(f\) ist weder injektiv noch surjektiv und damit schon auf gar keinen Fall bijektiv.

\(h\) ist auch nicht bijektiv. Es müsste \(h([0,\infty[)=\mathbb{R}\) gelten, was nicht gegeben ist, da die Wurzelfunktion nur positive Werte "trifft".

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f: nicht injektiv, da alle Werte bis auf 0 doppelt angenommen werden und nicht surjektiv, da die negativen Werte nicht angenommen werden

h: Verstehe ich noch nicht ganz, es ist doch h: [0,∞[ -> ℝ

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Wenn du Werte in die Wurzelfunktion einsetzt, kommen nur positive reelle Zahlen heraus. Beispielsweise \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{16}=4\) usw. Surjektiv ist eine Abbildung einzig und allein, wenn jedes Element aus dem Definitionsbereich \([0,\infty[\) mindestens ein Element aus dem Wertevorrat \(\mathbb{R}\) zurgeordnet wird.

Das ist aber nicht möglich, da in den rellen Zahlen auch negative Werte drinnen sind. Hier einmal die beiden Mengen mit nur ein paar Beispielen, welche Zahlen in ihnen liegen:

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Wir können ja mal ein Spiel spielen. Wenn du mir ein Element aus dem Definitionsbereich, also ein \(x\in [0,\infty[\) gibst, für das \(f(x)>0\), dann hast du gewonnen.