vorab die Definition der erweiterten reellen Zahlen:
Die Menge der erweiterten reellen Zahlen ist definiert als \(\overline{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}\). Die Ordnungsrelation \(<\) erweitern wir von \(\mathbb{R}\) auf \(\overline{\mathbb{R}}\), indem wir definieren: \(-\infty < x <\infty\) für \(x\in \mathbb{R}\)
Weiterhin definieren wir:
\(\infty + \infty :=\infty\), \(\quad -\infty +(-\infty)=-\infty\), \(\quad \pm \infty+ x=x+\pm \infty :=\pm \infty\)
usw. (die üblichen Verdächtigen)
________________________________________________________________________________________
Ich möchte jetzt beweisen, dass diese Rechenregeln auch bspw. für die Grenzwertregeln oder den Sandwichsatz gelten.
Beispiel:
\(a_n\to \infty\) und \(b_n\to b >0 \Longrightarrow a_nb_n\to \infty \cdot b = \infty\)
Doch wie beweist man das?
Ich möchte z. B. \(x\cdot \infty = \infty \cdot x =\infty\) zeigen.
________________________________________________________________________________________
Meine Beweisidee/ansatz (Ich möchte z. B. \(x\cdot \infty = \infty \cdot x =\infty\) zeigen mit \(x>0\))
Man betrachte \(a_n \to a>0\) und \(b_n\to \infty\). Da jede konvergente Folge beschränkt ist, exisitiert für \((a_n)\) ein reelles \(K\) derat, dass \(|a_n|\leq K \Leftrightarrow -K\leq a_n\leq K\).
Zwischenüberlegung: Wir wollen zeigen, dass \(a_nb_n>K\) und wissen, dass \(a_n\geq -K\). Welche Bedingungen an \(b_n\) brauchen wir? Ich vermute, dass \(b_n > -K\) genügt? Daraus folgt dann, dass \(a_n\cdot b_n >-K\cdot (-K)=K\)
Ist das ok oder geht der Beweis ganz anders?
