Folgende Aufgabe
\( \lim\limits_{n\to\infty} \) (\( \frac{n^{2} - 4n - 21}{n^{2} - 3n - 28} \))^n
Problem/Ansatz:
Man darf nicht den L'Hospital benutzen.
Mein erster Ansatz war es, alles als e-funktion zu schreiben. Damit ich über die ln Regeln den exponenten vorziehen kann. Da natürlich das hoch n gestört hat.
Dann habe ich versucht das n2 auszuklammern. Und das Produkt im ln durch die Rechnenregeln als
$$\lim\limits_{x\to\infty} e^{n * (ln(n^2(1-\frac{4}{n} - \frac{21}{n^2}) - ln(n^2(1-\frac{3}{n} - \frac{28}{n^2})))}$$
Den inneren ln kann ich ja auch nochmal auseinander ziehen und in die Form
$$ln(n^2) + ln(1-\frac{4}{n} - \frac{21}{n^2}) - ln(n^2) + ln(1-\frac{3}{n} - \frac{28}{n^2})$$
bringen. (Habe jetzt das e hoch weg gelassen, weil die Latex formel sonst sehr unüberschaubar wird)
Da jetzt die inneren teile 0 ergeben (4/n ..etc) bleibt ln(1) übrig was 0 ist. Dann habe ich da
$$e^{n * (ln(n^2) - ln(n^2))}$$
Was e^0 ist . Was aber falsch ist.