Grenzwert gebrochen rationaler Funktion

Question

Folgende Aufgabe

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) (\( \frac{n^{2} - 4n - 21}{n^{2} - 3n - 28} \))^n

Problem/Ansatz:

Man darf nicht den L'Hospital benutzen.

Mein erster Ansatz war es, alles als e-funktion zu schreiben. Damit ich über die ln Regeln den exponenten vorziehen kann. Da natürlich das hoch n gestört hat.

Dann habe ich versucht das n²  auszuklammern. Und das Produkt im ln durch die Rechnenregeln als 

$$\lim\limits_{x\to\infty} e^{n * (ln(n^2(1-\frac{4}{n} - \frac{21}{n^2}) - ln(n^2(1-\frac{3}{n} - \frac{28}{n^2})))}$$

Den inneren ln kann ich ja auch nochmal auseinander ziehen und in die Form

$$ln(n^2) + ln(1-\frac{4}{n} - \frac{21}{n^2}) - ln(n^2) + ln(1-\frac{3}{n} - \frac{28}{n^2})$$

bringen. (Habe jetzt das e hoch weg gelassen, weil die Latex formel sonst sehr unüberschaubar wird)

Da jetzt die inneren teile 0 ergeben (4/n ..etc) bleibt ln(1) übrig was 0 ist. Dann habe ich da

$$e^{n * (ln(n^2) - ln(n^2))}$$

Was e^0 ist . Was aber falsch ist.

Comments

Hier waren zahlreiche Fehler. Wird überarbeitet.

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Sehe gerade, dass ich bei dem zweiten lim einen Fehler gemacht habe.

Heißt natürlich wie in der ersten zeile

\( \lim\limits_{n\to\infty} \)

Gibt kein x.

Wolfram spuckt mir als Ergebnis 1/e aus. Löst es aber mit dem L'Hospital

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Ich habe mich gerade böse vertan :D Moment. EDIT: Tschaka hat eine Lösung.

Answer 1

Aloha :)

$$\left(\frac{n^2-4n-21}{n^2-3n-28}\right)^n=\left(\frac{n^2-3n-28-n+7}{n^2-3n-28}\right)^n=\left(1-\frac{n-7}{n^2-3n-28}\right)^n$$$$\quad=\left(1-\frac{n-7}{(n-7)(n+4)}\right)^n=\left(1-\frac{1}{n+4}\right)^n=\frac{\left(1-\frac{1}{n+4}\right)^{n+4}}{\left(1-\frac{1}{n+4}\right)^4}\;\;\to\;\;\frac{e^{-1}}{1}=\frac{1}{e}$$

Beachte: \(e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\).