Prüfen ob drei punkte auf einer geraden liegen

Question

Aufgabe: Prüfen sie, ob es zahlen k element von R so gibt, dass die drei Punkte A, B und C auf einer Geraden liegen.

a) A(1|2|3), B(2|k|0) und C(1|1|1)

Wie genau kann ich das überprüfen ? Gibt es dafür eine formel die man anwenden kann? Es gibt noch eine b) die würde ich aber gern selber probieren

Answer 1

A und C haben immer die x-Koordinate 1. d.h eine gerade durch die Punkte hätte auch immer die x Koordinate 1.

B hat allerdings immer die x-Koordinate 2. Damit kann B nie auf einer Geraden durch A und C liegen.

Comments

Also sind alle aufgaben dieser art quasi unlösbar ?

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Nein. Nicht alle Pauschal. Aber diese.

Allgemein kann man versuchen folgende Gleichung zu lösen

[2, k, 0] - [1, 2, 3] = r·([1, 1, 1] - [1, 2, 3])

[1, k - 2, -3] = r·[0, -1, -2]

Auch hier siehst du bereits, dass es keinen Wert für r gibt sodass die x-Koordinate übereinstimmt.

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Also sind alle aufgaben dieser art quasi unlösbar ?

Wie kommst du darauf? Gewöhne dir an, Antworten nicht nur einfach so zu lesen, sondern auch die Argumentation nachzuvollziehen.

Es wurde lediglich begründet, warum DIESE Aufgabe keine Lösung besitzt.

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Vielen dank! Hab jetzt die b) genauso versucht und wollte fragen ob du nochmal drüber schauen könntest ob es auch richtig ist:

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ich glaub jetzt müsste man sie sehen? Wenn ich das bild richtig eingefügt haben sollte

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[-3, 6, k] - [1, 2, -1] = r·([2, 1, 2] - [1, 2, -1]) → k = -13 ∧ r = -4

Du hast einen Flüchtigkeitsfehler gemacht:

k - (-1) ist (k + 1) und nicht (k - 1)

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Ach verdammt, stimmt, danke. also ist k= 11 und nicht nicht -11

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Noch ein Flüchtigkeitsfehler k = -13, wie ich oben geschrieben habe.

Answer 2

Du könntest aus zwei Punkten eine Gerade aufstellen und schauen, ob auch der dritte Punkt auf der Geraden liegt.

Comments

Und wie finde ich dann k raus ?

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k ist ein Parameter.

Z.B. wenn du die Gerade gleich dem Punkt setzt und nach k auflöst.

Answer 3

Berechne $$\text{Rang}\begin{bmatrix} A & B & C \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} = \text{Rang}\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & k & 1 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$

und überlege dir, wie das die Frage beantwortet.