Beweis, dass Ableitung eines Vektorfeldes senkrecht auf dem Vektorfeld steht.

Question

ich schlage mich mit folgendem Problem rum:

"Die Länge eines zeit-abhängigen Vektorfeldes \(v:\mathbb{R}\to\mathbb{R^n}\) sei konstant. also \(|\vec v(t)|=const\), weiter sei dieses Vektorfeld nach der Zeit \(t\) differenzierbar. Zeigen Sie, dass \(\frac{d}{dt}\vec v(t)\) zu allen Zeiten \(t\) senkrecht auf \(v(t)\) steht."

Kann ich da mit dem Differentialquotienten argumentieren oder wie geht das?

Liebe Grüße

Eluna

Answer 1

Aloha :)$$\left|\vec v(t)\right|=\text{const}\;\;\Rightarrow\;\;\vec v^2(t)=\text{const}\;\;\Rightarrow\;\;2\vec v\cdot\frac{d}{dt}\vec v=\frac{d}{dt}(\text{const})=0$$$$\Rightarrow\;\;\vec v\perp\frac{d}{dt}\vec v$$

Answer 2

Wenn \( | v(t) | = \text{const} \) gilt, dann gitl auch \( | v(t) |^2 = v(t) v(t) = \text{const} \) Daraus folgt $$ \frac{d}{dt} | v(t) |^2 = 2 \left( \frac{d}{dt} v(t) \right) v(t) = 0 $$ Damit stehen \( v(t) \) und \( \frac{d}{dt} v(t) \) senkrecht zueinander.