Lineafaktordarstellung und Nullstellen berechnen

Question

Aufgabe:

Berechne die Nullstellen und geben sie die Linearfaktordarstellung an.

C)

f(x) = 1/12x^4 - ⅙x³ - x²

Comments

Du kannst x^2 ausklammern.

Answer 1

1/12x⁴ - ⅙x³ - x²=\( \frac{1}{12} \) x²·(x²-2x-12)=x²(x-1-√13)(x-1+√13)

Nullstellen x₁=0, x₂=1+√13, x₃=1-√13.  

Answer 2

Aloha :)

$$\phantom{=}\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{6}x^3-x^2$$$$=\frac{1}{12}x^2\left(x^2-2x-12\right)$$$$=\frac{1}{12}x^2\left(x^2-2x+1-13\right)$$$$=\frac{1}{12}x^2\left[(x-1)^2-13\right]$$Der Term in eckigen Klammern schreit nach der dritten binomischen Formel, \([a^2-b^2]=(a-b)\cdot(a+b)\), mit \(a=(x-1)\) und \(b=\sqrt{13}\). Wir hören sein Rufen und schreiben:

$$=\frac{1}{12}x^2\left[\,\left(\underbrace{(x-1)-\sqrt{13}}_{a-b}\right)\cdot\left(\underbrace{(x-1)+\sqrt{13}}_{a+b}\right)\,\right]$$$$=\frac{1}{12}\cdot x^2\cdot\left[\;x-(1+\sqrt{13})\;\right]\cdot\left[\;x-(1-\sqrt{13})\;\right]$$Daraus liest man die Nullstellen bequem ab:$$x_1=0\;\;;\;\;x_2=1+\sqrt{13}\;\;;\;\;x_3=1-\sqrt{13}$$