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(a+b)0=        1
(a+b)1=    1a+1b
(a+b)²=1a²+2ab+1
Die nächste Formel  (a+b)³=1a³+3a²b+3ab²+1b³ lernt heute kein Schüler mehr auswendig.
Die soeben berechneten Koeffizienten (fett) kann man in Dreiecksform schreiben:




1





1

1



1

2

1

1

3

3

1


Jedes Feld enthält die Summe der beiden mit einer Ecke daran nach oben angrenzenden Felder (bzw. der Zahlen darin). Leere Felder enthalten eine Null. Dann lässt sich das Dreieck so weiterführen:






1







1

1





1

2

1



1

3

3

3

1

4

6

4

1


In der fünften Zeile dieses Dreiecks stehen die Koeffizienten von (a+b)4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4.

Will man aber (a+b)10 auf diese Weise herstellen, müsste man erst 11 Zeilen des (Pascalschen) Dreiecks aufschreiben. Daher macht es Sinn, die Binomialkoeffizienten direkt zu berechnen.

Ein Beispiel: Der fünfte Koeffizient in der 11. Zeile  (kurz \( \begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix} \) wird so berechnet \( \frac{10·9·8·7}{1·2·3·4} \) =10·3·7=210 (der Nenner kürzt sich weg). Die 4 unten gibt an, wie viele Faktoren in Zähler und Nenner stehen. Im Zähler von 10 abwärts, im Nenner von 1 aufwärts. Dann ist:
(a+b)10=

\( \begin{pmatrix} 10\\0 \end{pmatrix} \)· a10+\( \begin{pmatrix} 10\\1 \end{pmatrix} \) a9b+\( \begin{pmatrix} 10\\2 \end{pmatrix} \)· a8b2+…+\( \begin{pmatrix} 10\\8 \end{pmatrix} \) ·a2b8+\( \begin{pmatrix} 10\\9 \end{pmatrix} \) ·ab9+\( \begin{pmatrix} 10\\10 \end{pmatrix} \)·b10 mit \( \begin{pmatrix} 10\\0 \end{pmatrix} \) =1. Und dann:
(a+b)10=1a10+10a9b+45a8b2+120a7b3+210a6b4+252a5b5+210a4b6+  120a3b7+45a2b8+10ab9+1b10.
    

   

geschlossen: Wissensartikel
von Roland
Avatar von 123 k 🚀

Wenn du Hilfe suchst, dann frage bitte konkret, welches Problem du mit dem Sachverhalt hast.


PS: Korrigiere bitte den Tippfehler in der dritten Zeile deiner ersten Abbildung.

Danke, abakus.

Wenn du Hilfe suchst, dann frage bitte konkret, welches Problem du mit dem Sachverhalt hast.

Das soll ein Wissensartikel sein. Das heißt Roland hat vermutlich keine Probleme mit dem Sachverhalt.

Ich frage mich aber ob es wirklich jemanden gibt der nach dem Durchlesen eine Ahnung hat.

Und was die meisten Schüler sich wohl auch fragen warum sollte jemand (a + b)^10 ausrechnen wollen.

Für einen Wissensartikel wäre mir das leider viel zu dünn.

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