(a+b)0= 1
(a+b)1= 1a+1b
(a+b)²=1a²+2ab+1b²
Die nächste Formel (a+b)³=1a³+3a²b+3ab²+1b³ lernt heute kein Schüler mehr auswendig.
Die soeben berechneten Koeffizienten (fett) kann man in Dreiecksform schreiben:
Jedes Feld enthält die Summe der beiden mit einer Ecke daran nach oben angrenzenden Felder (bzw. der Zahlen darin). Leere Felder enthalten eine Null. Dann lässt sich das Dreieck so weiterführen:
In der fünften Zeile dieses Dreiecks stehen die Koeffizienten von (a+b)4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4.
Will man aber (a+b)10 auf diese Weise herstellen, müsste man erst 11 Zeilen des (Pascalschen) Dreiecks aufschreiben. Daher macht es Sinn, die Binomialkoeffizienten direkt zu berechnen.
Ein Beispiel: Der fünfte Koeffizient in der 11. Zeile (kurz \( \begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix} \) wird so berechnet \( \frac{10·9·8·7}{1·2·3·4} \) =10·3·7=210 (der Nenner kürzt sich weg). Die 4 unten gibt an, wie viele Faktoren in Zähler und Nenner stehen. Im Zähler von 10 abwärts, im Nenner von 1 aufwärts. Dann ist:
(a+b)10=
\( \begin{pmatrix} 10\\0 \end{pmatrix} \)· a10+\( \begin{pmatrix} 10\\1 \end{pmatrix} \) a9b+\( \begin{pmatrix} 10\\2 \end{pmatrix} \)· a8b2+…+\( \begin{pmatrix} 10\\8 \end{pmatrix} \) ·a2b8+\( \begin{pmatrix} 10\\9 \end{pmatrix} \) ·ab9+\( \begin{pmatrix} 10\\10 \end{pmatrix} \)·b10 mit \( \begin{pmatrix} 10\\0 \end{pmatrix} \) =1. Und dann:
(a+b)10=1a10+10a9b+45a8b2+120a7b3+210a6b4+252a5b5+210a4b6+ 120a3b7+45a2b8+10ab9+1b10.
