Wahrscheinlichkeitsrechnung mit 100 Losen in einer Lotterie mit 5 Gewinnen

Question

Aufgabe:

wie hoch ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung in Prozent, einen Gewinn zu bekommen, wenn man 100 Lose von einer Lotterie besitzt, wovon es 1000 Lose mit 5 Gewinnen gibt.

Bin gespannt auf eure Antworten ;)

Answer 1

Aloha :)

Es gibt unter den 1000 Losen genau 5 Gewinne und 995 Nieten. Du gewinnst nichts, wenn du 100 Nieten gezogen hast. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist:$$p(nichts)=\frac{995}{1000}\cdot\frac{994}{999}\cdot\frac{993}{998}\cdots\frac{896}{901}=\frac{\frac{995!}{895!}}{\frac{1000!}{900!}}=\frac{995!}{895!}\cdot\frac{900!}{1000!}$$$$\phantom{p(nichts)}=\frac{900\cdot899\cdot898\cdot897\cdot896}{1000\cdot999\cdot998\cdot997\cdot996}\approx58,98\%$$Umgekehrt ist also die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn:$$p(etwas)=1-p(nichts)=41,01\%$$

Answer 2

einen Gewinn zu bekommen

Genau einen oder mindestens einen?

Genau einen:

P("genau einen Gewinn") = \(\dfrac{\displaystyle\binom{5}{1} \cdot \displaystyle\binom{1000-5}{100-1}}{\displaystyle\binom{1000}{100}}\)

Mind. einen:

P("mind. 1 Gewinn") = 1- P("kein Gewinn") = \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{5}\dfrac{\displaystyle\binom{5}{i} \cdot \displaystyle\binom{1000-5}{100-i}}{\displaystyle\binom{1000}{100}} = 1- \dfrac{\displaystyle\binom{5}{0} \cdot \displaystyle\binom{1000-5}{100-0}}{\displaystyle\binom{1000}{100}}\)

Comments

Mindesten einen, ist die Fragestellung