Unter- und Obersummen? Einführung in die Integralrechnung

Question

Aufgabe:

Berechnen sie U4 und O4 sowie U8 und O8 für die angegebene Funktion f über dem Intervall I.

f(x)= x^2,  I= [1;2]

Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen! :)

Answer 1

U4 ist vermutlich die Untersumme bei Teilung des Intervalls in 4 gleiche Teile.

Also so ( Da f monotonsteigend ist, ist immer der Funktionswert am linken Rand zu nehmen.)

U4 = f(1)*0,25 + f(1,25)*0,25+f(1,5)*0,25 + f(1,75)*0,25

     = 0,25*( f(1)+f(1,25)+f(1,5)+f(1,75) )

      = 0,25 * (1+1,5625 +2,25+3,0625) = 0,25*7,875 =1,96875

entsprechend

O4=  f(1,25)*0,25+f(1,5)*0,25 + f(1,75)*0,25+f(2)*0,25

     = …..

Und bei 8 Teilpunkten ist es entsprechend.

Answer 2

Beispiel U4:

Addiere die Flächen der Rechtecke.

O4, U8 und O8 analog.

Answer 3

Ansatz: Dein Intervall [1;2] hat die Breite b=2-1=1

$$ U_n=\frac{b}{n}\cdot f\Big(\frac{0\cdot b}{n}\Big)+\frac{b}{n}\cdot f\Big(\frac{1\cdot b}{n}\Big)+...+\frac{b}{n}\cdot f\Big(\frac{(n-1)\cdot b}{n}\Big)\\= \frac{b}{n}\cdot \Bigg(f\Big(\frac{0\cdot b}{n}\Big)+f\Big(\frac{1\cdot b}{n}\Big)+...+f\Big(\frac{(n-1)\cdot b}{n}\Big)\Bigg)\\=\frac{b}{n}\cdot \sum_{k=0}^{n-1} f\Big(\frac{k\cdot b}{n}\Big)$$

Dasselbe mit der Obersumme, nur dass du jetzt von k=1 bis n summierst:

$$ O_n=\frac{b}{n}\cdot \sum_{k=1}^{n} f\Big(\frac{k\cdot b}{n}\Big)$$