Sicher, dass du partiell integrieren sollst?
Das macht die Sache nämlich unnötig kompliziert. Substitution ist hier viel einfacher.
$$ z=2x \\ \frac{dz}{dx}=2\Leftrightarrow dx =\frac{dz}{2}$$
Dann hast du
$$\int e^{2x}dx =\int e^z\frac{dz}{2}=\frac{1}{2}e^z+C=\frac{1}{2}e^{2x}+C$$