Radius einer Kugel nach Teilausschnitt berechnen

Question

ich benötige den Radius für weitere Berechnungen.

Leider habe ich nur diese Angaben:

h=850mm

a=900mm

Wie lautet die Formel?

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Sei \(M\) der Mittelpunkt der Kugel und \(P\) der Mittelpunkt des eingezeichneten Kreises. Dann ist \(|MP|=h - r\) (warum?) und nach Pythagoras \((h - r)^2 + a^2 = r^2\). Das löst du nach \(r\) auf, fertig.

Answer 1

a^2 + (r - h)^2 = r^2
a^2 + r^2 - 2rh + h^2 = r^2
a^2 - 2rh + h^2 = 0
a^2 + h^2 = 2rh
(a^2 + h^2)/(2h) = r
r = (a^2 + h^2)/(2h)

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Mit dem Höhensatz nach der Anregung von hj2166:

h·(2·r - h) = a^2
2·r - h = a^2 / h
2·r = a^2 / h + h
r = a^2 / (2·h) + h/2

Das könnte man noch umformen zu r = (a^2 + h^2)/(2·h). Das kann man aber auch lassen.

Das schöne ist hier, das man ohne die binomische Formel auskommt, die einigen Schülern immer wieder das Leben schwer macht.

Du solltest mit beiden Formeln auf ca. r = 901.5 mm kommen.

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Genau das kommt bei mir heraus. Danke für die Unterstüzung!

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Prima. Ich denke dann hast du es verstanden.

Answer 2

Na, das schreit doch nach Pythagoras, oder?

(r-h)²+a²=r²

Ausrechnen und nach r auflösen.

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das schreit doch nach Pythagoras, oder   nach dem Höhensatz

Answer 3

Zunächst einmal muß " r " bestimmt werden.
Hier die Kugel in der Seitenansicht

Die gestrichelte Linie ist auch " r "

pythagoras
r^2 = ( r - h ) ^2 + a^2
r^2 = ( r - 850 ) ^2 + 900^2
r = 901.47

Geht nachher weiter. Ich will erst Mittagessen.

Comments

Braucht nicht weitergehen z.B. mit Kugelsegment.
Mehr als " r " wolltest du ja nicht wissen.

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, hat super funktioniert!

Answer 4

Aloha :)

Wenn du die Strecke \(h\) bis zum Mittelpunkt der Kugel verlängerst, reicht sie vom Rand der Kugel bis zum Mittelpunkt, ist also gleich dem Radius \(r\) der Kugel. Das fehlende Stück vom unteren Endpunkt von \(h\) bis zum Kugel-Mittelpunkt hat daher die Länge \(r-h\). Nun hast du ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten \(r-h\) und \(a\) und der Hyptohenuse \(r\):$$\left.(r-h)^2+a^2=r^2\quad\right|\;\text{2. binomische Formel}$$$$\left.(r^2-2rh+h^2)+a^2=r^2\quad\right|\;-r^2$$$$\left.-2rh+h^2+a^2=0\quad\right|\;-h^2-a^2$$$$\left.-2rh=-h^2-a^2\quad\right|\;\cdot(-1)$$$$\left.2rh=h^2+a^2\quad\right|\;:(2h)$$$$\left.\frac{2rh}{2h}=\frac{h^2+a^2}{2h}\quad\right|\;\text{links }(2h)\text{ kürzen}$$$$r=\frac{h^2+a^2}{2h}$$Jetzt brauchst du nur noch deine Werte einzusetzen (die Einheit \(mm\) lasse ich weg):$$r=\frac{850^2+900^2}{2\cdot850}=\frac{1532500}{1700}\approx901,47$$