zeigen sie dass das uneigentliche integral konvergiert x^2018*e^-x

Question

ich soll zeigen, dass das uneigentliche Integral

$$\int_{1}^{\infty}x^{2018}{\cdot}e^{-x} dx$$

konvergiert.

Leider fehlt mir jeglicher Ansatz bzw. die Vorstellung dass dieses Integra überhaupt konvergiert.

Vielen Dank schonmal im voraus.

Answer 1

Untersuche mal die Stammfunktionen für

fn(x) = e^(-x)·x^n

für n = 1, 2, 3, ...

Was stellst du fest? Könntest du anhand der Kenntnisse ableiten aus welchen Faktoren die Stammfunktion von fn(x) = e^(-x)·x^n Grundsätzlich besteht?

Anhand dieser Infos solltest du auch begründen können warum das Integral konvergiert.

Comments

Also die allgemeine Stammfunktion für fn(x) wäre

-e^(-x)(x^n+x^(n-1)+...+n!x^0)

Also müsste die Stammfunktion von e^(-x)x^2018

-e^(-x)(x^2018+2018x^2017+...+2018!)

Leider werde ich daraus trotzdem nicht schlauer

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wenn ich ja jetzt ein z mit limes für z-> inf als obere grenze einsetzen würde, würde das integral doch divergieren oder ist das falsch?

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was ist den

lim (x → ∞) e^{-x} = ...

Answer 2

Es sollte sich durch 2018-fache partielle Integration eine Stammfunktion finden lassen.

;-)

Scherz beiseite (auch wenn der Hintergrund ernst gemeint ist).

Es sollte sich eine rekursive Formel finden lassen, mit deren Hilfe man eine Stammfunktion von f(x)=xⁿ⁺¹e^-x ausdrücken kann, wenn man eine Stammfunktion von f(x)=xⁿe^-x kennt.

PS: Die Antwort von MC zielt wohl in eine ähnliche Richtung.

Comments

Vielen dank für die schnelle antwort.

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S: Die Antwort von MC zielt wohl in eine ähnliche Richtung.

Richtig. Wobei man ja die exakte Stammfunktion gar nicht wissen muss, weil man ja auch nicht das uneigentliche Integral berechnen soll.

Es langt ja zu zeigen das F(∞) - F(1) einen Grenzwert hat. Und das kann ja z.B. geschehen wenn der Grenzwert von F(∞) gerade 0 ist.

Mit etwas mehr Mühe bekommt man aber auch den Grenzwert heraus.

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Letztendlich ist man so gut wie fertig wenn man zeigen kann, dass ab einer bestimmten Stelle 1/x² größer ist als f(x) und somit als konvergente Majorante verwendet werden kann. Ab dieser gesuchten Stelle gilt x²⁰¹⁸e^-x<x^-2 bzw.

x²⁰²⁰<e^x bzw.

2020 ln(x)<x

Answer 3

die Stammfunktion sollst du hier nicht berechnen. Besser: schätze geeignet ab.

Z.B x^{2018} <e^{0.5x}

Damit 0<=x^{2018}e^{-x}<e^{-0.5x}

Letzteres ist leicht zu integrieren.,