Ganzrationale Funktion. Gegeben ist der Kurvenschar f_{a} (x) = 4/3x³-ax² , a>0

Question

ich hab die funktion f_a(x)= 4/3x³-ax² , a>0 und ich soll eine kurvendiskussion von f_a durchführen. heißt es jetzt, ich soll für a eine zahl größer als 1 einsetzen, z.b. 4/3x³-2x² und so die kurvendiskussion weiterführen oder soll ich a stehen lassen oder für a = 1 nehmen also dann 4/3x³-x² ? bitte um hilfe, danke!

Aus Ergänzung (Duplikat):

gegeben ist der kurvenschar f_{a} (x) = 4/3x³-ax² , a>0

ich soll nun eine kurvendiskussion durchführen und ich bin verwirrt da ich sowas nie gemacht habe mit a als konstante

ich habe die nullstellen der extremstellen versucht herauszubekommen, es kam aber a/2 heraus. ich kann doch jetzt aber a/2 nicht einfach in die zweite ableitung einsetzen, da würde nur 8a/2 - 2 herausbekommen, aber das sagt doch nix aus oder wie soll man das verstehen? bitte um hilfe :(

Comments

Vom Duplikat:

Titel: probleme mit kurvenschar aufgabe

Stichworte: kurvenschar,analysis

gegeben ist der kurvenschar f_a (x) = 4/3x³-ax² , a>0

ich soll nun eine kurvendiskussion durchführen und ich bin verwirrt da ich sowas nie gemacht habe mit a als konstante

ich habe die nullstellen der extremstellen versucht herauszubekommen, es kam aber a/2 heraus. ich kann doch jetzt aber a/2 nicht einfach in die zweite ableitung einsetzen, da würde nur 8a/2 - 2 herausbekommen, aber das sagt doch nix aus oder wie soll man das verstehen? bitte um hilfe :(

---

Vgl.: 651605

Answer 1

Eine vollständige Kurvendiskussion könnte von den Ergebnissen wie folgt aussehen:

Funktion & Ableitungen
fa(x) = 4/3·x^3 - a·x^2 mit a > 0
fa'(x) = 4·x^2 - 2·a·x
fa''(x) = 8·x - 2·a

Symmetrie
Keine Standardsymmetrie zur y-Achse oder zum Koordinatenursprung

Verhalten im Unendlichen
lim (x → -∞) f(x) = -∞
lim (x → ∞) f(x) = ∞

Y-Achsenabschnitt fa(0)
fa(0) = 0

Nullstellen fa(x) = 0
4/3·x^3 - a·x^2 = x^2·(4/3·x - a) = 0 → x = 0 (2-fach und damit Extrempunkt) ∨ x = 3/4·a

Extrempunkte fa'(x) = 0
4·x^2 - 2·a·x = x·(4·x - 2·a) = 0 → x = 0 ∨ x = 1/2·a
fa(0) = 0 → HP(0 | 0)
fa(1/2·a) = -1/12·a^3 → TP(1/2·a | -1/12·a^3)

Wendepunkte fa''(x) = 0
8·x - 2·a = 0 → x = 1/4·a
fa(1/4·a) = -1/24·a^3 → WP(1/4·a | -1/24·a^3)

Answer 2

Aloha :)

\(f_a(x)\) ist eine sog. "Funktionenschar". Das heißt, der Parameter \(a\) kann alle möglichen Werte annehmen. Die Idee ist, dass \(a\) frei wählbar ist, dann aber für die Kurvendiskussion ein fester Wert ist.

Du musst also alles Mögliche ausrechnen (Nullstellen, Extrema, Wendepunkte...) und \(a\) dabei wie eine Kosntante behandeln, die auch in den Ergebnissen auftauchen kann.

Comments

vielen dank für deine antwort :) das bedeutet, ich soll also a dort fest stehen lassen, als wäre es sowas wie pi? was aber wenn ich die konstante a ableiten muss für extremstellen und co?

---

Ja, behandle \(a\) bei den Berechnungen am besten genauso wie \(\pi\). Einfach als feste Zahl betrachten. Die Ableitungen sehen z.B. so aus:

$$f(x)=\frac{4}{3}x^3-ax^2$$$$f'(x)=4x^2-2ax$$$$f''(x)=8x-2a$$$$f'''(x)=8$$

---

vielen dank :=)

---

bei der berechnung der extremstellen bin ich in folgende situation gelandet:

durch ausklammern x1 = 0 und jetzt 4x-2a = 0 was mache ich aber jetzt mit 2a?

---

$$4x-2a=0$$$$4x=2a$$$$x=\frac{2a}{4}=\frac{a}{2}$$Das a lässt du dann einfach so im Ergebnis stehen.

---

wie soll das allgemein dann weitergehen, ich habe eine potenzielle extremstelle bei a/2 und wenn ich das in die zweite ableitung einsetze: wie soll das überhaupt gehen? soll ich für a dann 1 verwenden? :( bitte hilfe

Answer 3

Das ist eine ganz normale Kurvendiskussion mit a als Parameter.

Den Parameter a läßt Du so stehen.

Comments

vielen dank für deine antwort. wenn ich den parameter a fest stehen lassen soll, wie soll ich dann die ableitungen bilden? ist die ableitung von f_a dann 4x² -2x weil a als parameter / konstante abgeleitet ist 1 ?

---

f_a'=(4/3) *3x^2 -2ax

f_a'=4x^2 -2ax

---

vielen dank =)

---

bei der berechnung der extremstellen bin ich in folgende situation gelandet:

durch ausklammern x1 = 0 und jetzt 4x-2a = 0 was mache ich aber jetzt mit 2a?

---

wenn ich mit der konstante rechne, soll ich für a = 1 machen?

Answer 4

Hi, es gilt

$$ f_a'(x) = 2x ( 2x -a) $$ und $$ f_a''(x) = 8x - 2a  $$

\( f_a'(x) \) wird \( 0 \) für \( x = 0 \) oder \( x = \frac{a}{2} \)

Es gilt \( f_a''(0) = -2a \) und \( f_a'' \left(\frac{a}{2} \right) = 2 a \)

Da \( a > 0 \) gilt, folgt   \( f(0) \) ist ein Maximum und \(\left(\frac{a}{2} \right) \) ist ein Minimum.