Aloha :)
Meiner Meinung nach bringen die ganzen "Rechner" im Internet dem Lernenden so gut wie nichts. In einer Klausur darf man solche Hilfsmittel nicht benutzen und hat dann keine Übung, wie man an solche Aufgaben herangeht. Daher schreibe ich diese Antwort, um den Rechenweg zu erläutern.
Die Gesuchte ist eine ganzrationale Funktion 4-ten Gerades:$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$$$f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$$$$f''(x)=12ax^2+6bx+2c$$
"Der Koordinatenursprung ist Extrempunkt" bedeutet, dass \(f(x)\) den Punkt \((0;0)\) hat, also:$$0\stackrel{!}{=}f(0)=a\cdot0^4+b\cdot0^3+c\cdot0^2+d\cdot0+e=e\;\;\Rightarrow\;\;\underline{e=0}$$Das Zeichen \(\stackrel{!}{=}\) symbolisiert eine Forderung und kann als "soll sein" gelesen werden.
"Der Koordinatenursprung ist Extrempunkt" bedeutet weiter, dass die erste Ableitung von \(f(x)\) an der Stelle \(0\) ebenfalls \(0\) sein muss:$$0\stackrel{!}{=}f'(0)=4a\cdot0^3+3b\cdot0^2+2c\cdot0+d=d\;\;\Rightarrow\;\;\underline{d=0}$$
"W(-1;-3) ist Wendepunkt mit der Steigung 5." enthält 3 Bedingungen.
(1) Der Punkt \((-1;-3)\) liegt auf der Kurve:$$-3\stackrel{!}{=}f(-1)=a\cdot(-1)^4+b\cdot(-1)^3+c\cdot(-1)^2=a-b+c$$(2) Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt muss erfüllt sein:$$0\stackrel{!}{=}f''(-1)=12a\cdot(-1)^2+6b\cdot(-1)+2c=12a-6b+2c$$(3) Die Steigung an der Stelle \(-1\) ist gleich \(5\):$$5\stackrel{!}{=}4a\cdot(-1)^3+3b\cdot(-1)^2+2c\cdot(-1)=-4a+3b-2c$$Fassen wir alle 3 Gleichungen zusammen:
$$\begin{array}{c}a &-b& +c &=&-3\\12a & -6b & +2c &=&0\\-4a&+3b&-2c&=&5\end{array}$$Wir subtrahieren das 12-fache der Zeile 1 von Zeile 2 und addieren das 4-fache von Zeile 1 zu Zeile 3:
$$\begin{array}{c}a &-b& +c &=&-3\\12a-12a & -6b-12\cdot(-b) & +2c-12c &=&0-12\cdot(-3)\\-4a+4a&+3b+4\cdot(-b)&-2c+4c&=&5+4\cdot(-3)\end{array}$$sodass \(a\) in der ersten Spalte alleine steht:
$$\begin{array}{c}a &-b& +c &=&-3\\0 & +6b & -10c &=&36\\0&-b&2c&=&-7\end{array}$$Wir subtrahieren Zeile 3 von Zeile 1 und addieren das 6-fache von Zeile 3 zu Zeile 2:
$$\begin{array}{c}a-0 &-b-(-b)& +c-2c &=&-3-(-7)\\0+6\cdot0 & +6b+6\cdot(-b) & -10c+12c &=&36+6\cdot(-7)\\0&-b&2c&=&-7\end{array}$$sodass \(b\) in der zweiten Spalte alleine steht:
$$\begin{array}{c}a & +0 & -c &=&4\\0 & +0 & +2c &=&-6\\0&-b&+2c&=&-7\end{array}$$Wir halbieren Zeile 2 und multiplizieren Zeile 3 mit (-1):
$$\begin{array}{c}a & +0 & -c &=&4\\0 & +0 & +c &=&-3\\0&+b&-2c&=&7\end{array}$$Jetzt addieren wir Zeile 2 zu Zeile 1 und das Doppelte von Zeile 2 zu Zeile 3:
$$\begin{array}{c}a+0 & +0+0 & -c+c &=&4+(-3)\\0 & +0 & +c &=&-3\\0+2\cdot0&+b+2\cdot0&-2c+2c&=&7+2\cdot(-3)\end{array}$$sodass \(c\) in der dritten Spalte alleine steht:
$$\begin{array}{c}a & +0 & +0 &=&1\\0 & +0 & +c &=&-3\\0&+b&+0&=&1\end{array}$$Daraus kannst du ablesen: \(a=1\), \(b=1\) und \(c=-3\). Die gesuchte Funktion lautet also:
$$f(x)=x^4+x^3-3x^2$$
