Schnittpunkt zweier e-Funktionen berechnen

Question

ich hab die beiden funktionen gleichgesetzt und dann die eine funktion rübergezogen, das sieht etwa so aus:

e^ x/2 - e^(3/2-x/4)= 0

ich weiß dass man x/2 als 1/2x und x/4 als 1/4x schreiben kann, aber das bringt mich nicht weiter. wie kann ich diese komplexe aufgabe lösen? durch ausklammern eher nicht

ich hab in anderen threads gesehen das leute die exponenten einfach genommen haben und die gleichgesetzt haben also in diesem fall 1/2x=3/2-1/4x dann würde die richtige x koordinate rauskommen, aber wie nennt man diesen mathematischen schritt wenn ich meinen lehrer erklären müsste was das bedeutet und ist das überhaupt erlaubt?

Answer 1

aber wie nennt man diesen mathematischen schritt wenn ich meinen lehrer erklären müsste was das bedeutet und ist das überhaupt erlaubt?

Ja das ist erlaubt.

e^(x/2) = e^(3/2 - x/4)   | ln() bzw. Exponentenvergleich

x/2 = 3/2 - x/4 --> x = 2

Noch etwas für das Merkheft:

Zwei Potenzen mit gleicher Basis sind gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind.

m = n → a^m = a^n

Answer 2

es ist richtig, wenn du \(e^{\frac{x}{2}}=e^{\frac{3}{2}-\frac{x}{4}}\) hast, einfach die Exponeten gleichzusetzen. Das ist auch leicht ersichtlich, weil wenn du auf beiden Seiten den Logarithmus Naturalis nimmst, dann steht das gleiche da. Man nennt das gleichsetzen der Expoenten meines Erachtens "Exponentenvergleich" - dein Lehrer sollte das kennen.

Answer 3

Falls die Aufgabe so lautet:

e^(x/2) - e^(3/2-x/4)= 0 | + e^(3/2-x/4)

e^(x/2) = e^(3/2-x/4)

------->Exponentenvergleich:

x/2= 3/2 -x/4 |+x/4

(3/2) *x= 3/2 | *4/3

x=2

Answer 4

e^x/2 - e^{3/2 - x/4}= 0

Weil 3/2-2/4 =2/2 ist muss x=2 sein.

Answer 5

Aloha :)

Die \(e\)-Funktion hat als Umkehrfunktion den natürlichen Logarithmus \(\ln\), das heißt: \(\ln(e^x)=x\). Wenn du auf dein Problem diese Logarihtmusfunktion anwendest, kannst du mit den Exponenten rechnen:

$$\left.e^{\frac{x}{2}}-e^{\frac{3}{2}-\frac{x}{4}}=0\quad\right|\;+-e^{\frac{3}{2}-\frac{x}{4}}$$$$\left.e^{\frac{x}{2}}=e^{\frac{3}{2}-\frac{x}{4}}\quad\right|\;\ln(\cdots)$$$$\left.\frac{x}{2}=\frac{3}{2}-\frac{x}{4}\quad\right|\;+\frac{x}{4}$$$$\left.\frac{x}{2}+\frac{x}{4}=\frac{3}{2}\quad\right.$$$$\left.\frac{3}{4}x=\frac{3}{2}\quad\right|\;\cdot\frac{4}{3}$$$$x=2$$