Absolutes Glied bestimmen, sodass Scheitelpunkt der Parabel auf x-Achse liegt

Question

Aufgabe:

f(x)=3x²+30x+48

Welchen Wert müsste das absolute Glied von f haben, damit der Scheitelpunkt von der Funktion genau auf der x-Achse liegt?

Answer 1

f'(x) = 0 ⇔ 6x +30 = 0 ⇔ x = -5

f(-5) = 0 ⇔ 3*(-5)^2 + 30 * (-5) + b = 0 ⇔ b = 75

Answer 2

Wir formen die allgemeine Form über die quadratische Ergänzung mal in die Scheitelpunktform um.

f(x) = 3·x^2 + 30·x + 48

f(x) = 3·(x^2 + 10·x) + 48

f(x) = 3·(x^2 + 10·x + 25 - 25) + 48

f(x) = 3·(x^2 + 10·x + 25) + 48 - 75

f(x) = 3·(x + 5)^2 + 48 - 75

Das absolute Glied müsste 75 sein, damit in der Scheitelpunktform als y-Koordinate eine 0 steht.