Wie leitet man eine ln-Funktion mit zwei Variablen ab?

Question

 Aufgabe:

u(x1,x2)=ln(x1*x2)=ln(x1)+ln(x2)

Comments

Ich empfehle zur Selbstkontrolle Wolframalpha oder ein anderes Rechentool deiner Wahl:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=differentiate+ln%28x*y%29

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In wie fern dient das zur Selbstkontrolle? Gibt man dort die Aufgabe an und es errechnet die Lösung selbstständig?

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Wolframalpha errechnet zu vielen mathematischen Fragen eine Kontroll-Lösung. Manchmal auch (für App-Benutzer) mit Schritt-für-Schritt Lösung.

Also z.B. sowas wie Ableitungen, Integrationen, Gleichungen Lösen etc. Also eigentlich so ziemlich viel was Schülern und Studenten Probleme bereitet.

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Das hört sich hilfreich an, denn oftmals hat man keine Lösungen zu seinen Übungsaufgaben parat - danke!

Answer 1

nach x1:  → 1/x^1

nach x2 → 1/x2

Der jeweils andere Summand ist als Konstante zu behandeln beim partiellem Ableiten.

Comments

Sagt dir die Grenzrate der Substitution etwas? Um sie zu erhalten teilt man die Ableitung nach der ersten Variablen durch die Ableitung der zweiten Variablen.

Ich würde es nämlich genau so tun wie du, hier ist man scheinbar anders vorgegangen, was ich mir nicht erklären kann:

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Die Ableitungen wurden mittels der Kettenregel unmittelbar, also ohne Umschreiben des Logarithmus, gebildet und in den Term der GRS eingesetzt.

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Man soll den ln anscheinend nicht auflösen:

Es gilt allgemein: ln(a*x) wird abgeleitet zu a/(ax)

Behandle x^1 bzw. x^2 wie a beim Ableiten.

Es kommt aber in beiden Fällen dasselbe raus, wenn du in Formel einsetzt. :)

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Gibt es denn - unabhängig von der Ableitung - eine andere Schreibweise von ln(x)?

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lnx ist lnx! Warum willst du das anders schreiben? Ich verstehe deine Frage nicht?

ln5 bedeutet: e^x=5

Answer 2

Du musst immer sagen was du eigentlich möchtest.
Was du machen möchtest ist die Implizite Differentiation.

Also wenn gilt: U(x, y) = ln(x·y) = C

Wie du y durch x ersetzen kannst bzw. umgekehrt.

Schaue Dazu unter:

https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation

f'(x) = - Fx / Fy = - (1/x) / (1/y) = -y/x

Dazu benötigst du aber auch die partiellen Ableitungen nach x und y, mit denen du dich dann außerdem beschäftigen solltest.

Comments

Was hat das mit "impliziter Differentiation" zu tun?

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Berechnet werden soll die Grenzrate der Substitution.

Der Fragesteller war so schlau das nicht in der eigentlichen Fragestellung zu erwähnen.

Und wenn du dir die Formel der GRS anschaust, dann wirst du merken, dass dies die implizite Ableitung ist.

Genau genommen ist der GRS der Absolutbetrag der Steigung und damit der Absolutbetrag der Impliziten Ableitung. Das wurde aber in der Schule/Uni wohl nicht so definiert.

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Was hat das mit "impliziter Differentiation" zu tun?

Das ist mir weiterhin völlig unklar. Der nachgereichte Mitschriftausschnitt macht doch unmißverständlich deutlich, dass die partiellen Ableitungen, die als Zähler und als Nenner in den Quotienten des GRS-Terms eingehen, die Kettenregel benutzt wurde. Und darum geht es doch wohl, denn

(...) hier ist man scheinbar anders vorgegangen, was ich mir nicht erklären kann