Konvergenz Konvergenzradius und Konvergenzbereich

Question

Hey Community,

Ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe--> \( \sum\limits_{K=1}^{\infty}{(\frac{-1}{3})^K} \) * \( \frac{(x-1)^K}{K} \)

Ansatz:

R = \( \lim\limits_{K\to\infty} \) | \( \frac{a_k}{a_{k+1}} \) | = \( \frac{(\frac{-1}{3})^K*\frac{1}{K}}{(\frac{-1}{3})^{K+1}*\frac{1}{K+1}} \)

Meine Frage wäre jetzt wie man auf den nächsten Schritt hier kommt:

= \( \lim\limits_{K\to\infty} \) |\( \frac{K}{K+1} \) *\( \frac{(-3)^{K+1}}{(-3)^{K}} \)  |

Aufgabe 2:

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz an den Rändern des Konvergenzbereiches und geben Sie den Konvergenzbereich an.

Ansatz:

Wie ermittle Ich die Randpunkte und was muss ich als nächsten machen?

Vielen Dank für eure Unterstützung^^

Answer 1

R = \( \lim\limits_{K\to\infty} \) | \( \frac{a_k}{a_{k+1}} \) | = \( \frac{(\frac{-1}{3})^K*\frac{1}{K}}{(\frac{-1}{3})^{K+1}*\frac{1}{K+1}} \)

Meine Frage wäre jetzt wie man auf den nächsten Schritt hier kommt:

Erst mal die beiden Brüche 1/k  durch  1/(k+1) dividieren, gibt  (k+1) / k

(Da ist wohl was vertauscht. )

Aber der Rest ist OK :

\( \frac{(\frac{-1}{3})^K}{(\frac{-1}{3})^{K+1}} \)

=\( \frac{(-3)^{K+1}}{(-3)^{K}} \)  

Insgesamt also wohl :

= \( \lim\limits_{K\to\infty} \) |\( \frac{K+1}{K} \) *\( \frac{(-3)^{K+1}}{(-3)^{K}} \)  |

Comments

In der Lösung steht \( \frac{K}{K+1} \) und wie kommst du auf \( \frac{(-3)^{K+1}}{(-3)^K} \) wie hast du da umgeformt?

Vielen Dank im Voraus für deine Hilfe^^

---

Aber der Rest ist OK :

\( \frac{(\frac{-1}{3})^K}{(\frac{-1}{3})^{K+1}} \)

=\( \frac{\frac{1^k}{(-3)^k}}{\frac{1^k}{(-3)^{K+1}}} \)

und dann den oberen Bruch mal den Kehrwert des unteren gibt

=\( \frac{1^k}{(-3)^k} * \frac{(-3)^{k+1}}{1^k} \)

und 1 hoch k ist ja 1, fällt als Faktor weg:

=\( \frac{(-3)^{K+1}}{(-3)^{K}} \)  

---

Ok ich sehe es jetzt danke dir für deine Hilfe^^

Bei der zweiten Aufgabe gibt es zwei Randpunkte x=-2 und x=4.

Wie kommt man darauf?

---

Die Reihe enthält ja Potenzen von x-1.

Also ist die 1 der Mittelpunkt des Konvergenzintervalls.

Die Berechnung der Konvergenzradius ergab R=3.

Die Randpunkte sind immer  :

 Mitte ± R, hier also

1+3  und  1-3 bzw.   4 und -2.