Question

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion die folgenden Aussagen:

(a) Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt \( \prod \limits_{\nu=1}^{n}\left(1+\frac{1}{\nu}\right)=n+1 \).
(b) Für alle \( n \in \mathbb{N} \) ist \( n^{3}+5 n \) durch 6 teilbar.

Answer 1

(a)

IA: n = 1, 1 + 1/1 = 2 = 1+1

IS: n -> n + 1

$$\prod_{v=1}^{n+1}(1+ \frac{1}{v}) = (\prod_{v=1}^{n}(1+\frac{1}{v})) \cdot (1 + \frac{1}{n+1}) = (n+1)(1 + \frac{1}{n+1}) = (n+1) + 1$$

(b)

IA: n = 1, 1^3 + 5*1 = 1 + 5 = 6 durch 6 teilbar

IS: n -> n+1

(n+1)^3 + 5(n+1) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 5n + 5 = 6x + 3n^2 + 3n + 6 = 6x + (3n^2 + 3n + 6)

bleibt zu zeigen, dass 3n^2 + 3n + 6 durch 6 teilbar ist:

Wenn n gerade:

3(2m)^2 + 3(2m) + 6 = 3*4m^2 + 6m + 6 = 12m^2 + 6m + 6 = 6(2m^2 + m + 1)

Wenn n ungerade:

3(2m+1)^2 + 3(2m+1) + 6 = 3(4m^2 + 4m + 1) + 6m + 3 = 12m^2 + 12m + 3 + 6m + 3 = 12m^2 + 12m + 6m + 6 = 6(2m^2 + 2m + 1)

Also (n+1)^3 + 5(n+1) = 6x + 6y = 6(x+y) durch 6 teilbar.

Comments

Dass  3n² + 3n + 6  durch  6  teilbar ist, folgt bereits daraus, dass  n·(n + 1)  durch  2  teilbar ist.