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Hallo :)

Der Endomorphismus L des endlich-dimensionalen K-Vektorraumes V sei diagonalisierbar, und U ≠{0} sei ein unter L invarianter Untervektorraum von V. Zeigen Sie:
(a) U enthält mindestens einen Eigenvektor von L.
(b) L|U besitzt eine Jordanbasis.
(c) L|U ist diagonalisierba
Ich gehe momentan zur Klausurvorbereitung Übungsaufgaben und bin mir bei obiger noch nicht ganz sicher

meine Überlegung, da es ja um Eigenvektoren und L-invariante UVR geht, was ja heißt, dass L(U)⊂V ist

Jetzt habe ich im Skript gesehen, dass die Haupträume und Hauptvektoren anschaue, also (L-λE)^m(v)=0  mit E'(λ)\{0}  als Hauptvektor und E(λ)⊂E'(λ) und E'(λ) als L-invarianten UVR, somit wäre das ja quasi schon gelöst aber bei U ist ja ein allgemeiner L-invarianter UVR geben ohne die Null jetzt müsste ich ja zeigen, dass alle L-invarianten UVR von V dieselben Eigenwerte haben wie der Hauptraum?

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zu a) habe ich nun folgendes im Skript gefunden und somit denke ich gelöst



Es seien U ≠ {0} ein L-invarianter Untervektorraum von V und Ch bzw. Ch0 das charakteristische Polynom von L
bzw. L |U . Dann ist Ch0 ein Teiler von Ch. Zerfällt also Ch in Linearfaktoren, dann auch Ch0.

das würde ja auch b) lösen, hat jemand eine Idee für c)

Ein anderes Problem?

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