Wie leite ich die Funktion (x1+1)*(x2+1) partiell nach x1 bzw. x2 ab?

Question

Aufgabe:

u(x1,x2)=(x1+1)*(x2+1)

Ich möchte die Nutzenfunktion partiell ableiten da ich eine Lagrangefunktion bilden muss.

Problem/Ansatz:

Die andere Variable bleibt normalerweise konstant, hier sind beide aber miteinander verbunden. Welche Regel gilt hier.

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{\partial u}{\partial x_1}=x_2+1\quad;\quad\frac{\partial u}{\partial x_2}=x_1+1$$Du hast hier 2 Faktoren. Wenn du nach x1 ableitest, ist der zweite Faktor konstant. Wenn du nach x2 ableitest, ist der erste Faktor konstant.

Comments

und wieso bleibt die 1 bestehen?

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Weil der konstante Faktor \((x_1+1)\) ist, wenn sich nur x2 ändert  bzw. \((x_2+1)\), wenn sich nur x1 ändert.

Vielleicht wird es klarer, wenn wir ausmultiplizieren:$$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1$$Da gibt es jeweils den Summanden x1 bzw. x2, der bei seiner Ableitung die 1 liefert.

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Ach so, also die 1 kommt von der Ableitung der Variablen und ist keine der beiden 1en die bereits in der Nutzenfunktion stehen?

Answer 2

Wenn du nach x₁ ableitest, behandle x₂ wie eine Zahl.

Wenn du nach x₂ ableitest, behandle x₁ wie eine Zahl.

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Ja, aber auch wenn beide durch Multiplikation verbunden sind?

Answer 3

u(x1,x2)= (x1 +1)(x2+1)

u (x1,x2) =x₁x₂ +x₁+x₂+1

ux₁ = x₂+1 ------>x₁ ist konstant

ux₂= x₁+1 -------->x₂ ist konstant

Comments

wieso fällt die 1 nicht auch weg?

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1 ist eine Konstante, abgeleitet ergibt 0.

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Die 1 entsteht durch die Ableitung von x1 bzw. x2 und ist keine der 1en die bereits in der Nutzenfunktion steht?

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wenn Du die Aufgabe ausmultiplizierst bekommst Du die 1 , abgeleitet ist 0.

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Wenn ich die ausmultiplizierte Version partiel ableite wäre ich wie folgt vorgegangen und hätte ein anderes Ergebnis erhalten:

 

Answer 4

Ich hatte dir bereits empfohlen auch mal ein Online-Tool zu nutzen.

Wenn du dann die Lösung hat wäre der nächste Schritt darüber nachzudenken warum sie so lautet. Ansonsten gibt es auch direkt Ableitungsrechner wie https://www.ableitungsrechner.net