Mindestwahrscheinlichkeit Stochastik

Question

Ich habe folgendes Problem: Und zwar komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter ://

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich ein Fahrgast bei einer Kontrolle als Schwarzfahrer erweist, beträgt 5%. Es werden 100 Einzelkontrollen durchgeführt.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden genau 3 Schwarzfahrer ertappt, die sich zudem nicht unter den ersten 20 Kontrollierten befinden?

b) Wieviele Einzelkontrollen müssen mindestens durchgeführt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens 1 Schwarzfahrer erwischt wird?

c) Wie hoch muss der Anteil der Schwarzfahrer an allen Fahrgästen mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% unter 100 Fahrgästen mindestens 1 Schwarzfahrer ist?

Mein Ansatz:

a) P=0,95²⁰ * B_80;0,05 (3) = 7,09 %

b) (0,95)ⁿ ≤ 0,1

             n ≥ ln(0,1)/ln(0,95) also mind 45 kontrollen

c) da habe ich leider keinen Ansatz!

Ich wäre über die Kontrolle von a) und b) sowie ne Hilfestellung oder am besten Rechnung und Erklärung zur c) SEHR DANKBAR!!

Answer 1

c) 1-(1-p)^100 >=0,99

p>= 0,045

p>= 4,5%

Comments

darf ich fragen wie du auf den term kommst?

Answer 2

a) korrekt

b) Es müssen mind. \(n = \left \lceil \dfrac{\ln (1-0.9)}{\ln (1-0.05)}\right \rceil  = \left \lceil \dfrac{\ln 0.1}{\ln 0.95}\right \rceil =45\) Kontrollen durchgeführt werden. mind. 90% und nicht 95%!

c) \((1-p)^{100} \leq 0.01 \Longrightarrow p\geq 1-\sqrt[100]{0.01} \approx 0.045\)

Comments

kannst du mir erklären wie du bei der c) auf den term gekommen bist?

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Genau wie die Herleitung für b, nur, dass p und nicht n unbekannt ist.

     P(X ≥ 1) ≥ 0.99
⇔ 1 - P(X=0) ≥ 0.99
⇔ 1 - nCr(100;0) * p^0 * (1-p)^100 ≥ 0.99
⇔ 1 - 1 * 1 * (1-p)^100 ≥ 0.99
⇔ - (1-p)^100 ≥ -0.01
⇔ (1-p)^100 ≤ 0.01

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zu c) :ist dann 0.045 der anteil an schwarzfahren an allen fahrgästen

Und könntest du mir noch mal den anfangsschritt zu b) erklären?

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0.045 der anteil an schwarzfahren an allen fahrgästen 

Mindestens, ja.

Der Anfangsschritt zu b ist doch formal der gleiche wie zu c.

P(X ≥ 1) ≥ 0.9
⇔ 1- P(X = 0) ≥ 0.9
⇔ - P(X = 0) ≥ 0.1
⇔ P(X = 0) ≤ 0.1
⇔ nCr(n;0) * 0.05^0 * (1-0.05)^n ≤ 0.1
⇔ 1 * 1 * 0.95^n ≤ 0.1
⇔ 0.95^n ≤ 0.1
⇔ n ≥ ceil( ln(0.1)/ln(0.95) ) = 45

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dann war doch mein ansatz richtig? oder?

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Stimmt,  ja.