Aloha :)
$$f(x_1,x_2)=x_1\cdot x_2\quad;\quad x_1^2+x_2^2=1$$Um das Problem zu verstehen, nehmen wir zunächst \(x_1,x_2\ge0\) an, wir betrachten also den rechten oberen Quadranten des Koordinatensystems. Die Nebenbedinung \(x_1^2+x_2^2=1\) besagt, dass der gesuchte Punkt \((x_1,x_2)\) auf einem Kreis mit Radius \(1\) liegen muss. Das Produkt \(x_1\cdot x_2\) ist die Fläche des Rechtecks \((0,0)\to(x_1,0)\to(x_1,x_2)\to(0,x_2)\to(0,0)\). In den Viertelkreis des ersten Quadranten soll also ein Rechteck mit möglichst großer Fläche angepasst werden.
Ohne die Beschränkung \(x_1,x_2\ge0\) gibt es 4 solcher Punkte \((x_1,x_2)\), nämlich in jedem Qudranten des Koordinatensystems genau einen. Ein Maxium im ersten Quadranten (\(x_1\) und \(x_2\) sind positiv), ein Minimum im zweiten Quadranten (\(x_1\) ist negativ und \(x_2\) ist positiv), ein Maximum im dritten Quadranten (\(x_1\) und \(x_2\) sind negativ) und schließlich wieder ein Minimum im vierten Quadranten (\(x_1\) ist positiv und \(x_2\) ist negativ).
Nachdem das Problem nun etwas genauer verstanden ist, geht es an die Rechnung.
Die Nebenbedingung kannst du ausnutzen, um eine Variable zu elemenieren: \(x_2=\pm\sqrt{1-x_1^2}\). Das kannst du in \(f(x_1,x_2)\) einsetzen und erhältst eine neue Funktion \(g(x_1)\), die nur noch von einer Variablen abhängt:
$$g(x_1)=\pm x_1\cdot\sqrt{1-x_1^2}$$Deren erste Ableitung muss nun gleich 0 sein, wir bilden sie mit der Produktregel:
$$0\stackrel{!}{=}\pm\left(1\cdot\sqrt{1-x_1^2}+x_1\frac{-2x_1}{2\sqrt{1-x_1^2}}\right)=\pm\left(\sqrt{1-x_1^2}-\frac{x_1^2}{\sqrt{1-x_1^2}}\right)$$$$\phantom{0}=\pm\sqrt{1-x_1^2}\left(1-\frac{x_1^2}{1-x_1^2}\right)=\pm\sqrt{1-x_1^2}\left(\frac{1-x_1^2}{1-x_1^2}-\frac{x_1^2}{1-x_1^2}\right)$$$$\phantom{0}=\pm\sqrt{1-x_1^2}\left(\frac{1-2x_1^2}{1-x_1^2}\right)=\pm\frac{1-2x_1^2}{\sqrt{1-x_1^2}}$$Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null wird, also
$$1-2x_1^2=0\quad\Leftrightarrow\quad1=2x_1^2\quad\Leftrightarrow\quad\underline{x_1=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}}$$Aus der Nebenbedinung folgt dann auch \(x_2\):
$$x_1^2+x_2^2=1\quad\Leftrightarrow\quad x_2^2=1-x_1^2=1-\left(\pm\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\quad\Leftrightarrow\quad\underline{x_2=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}}$$Nun hast du also die folgenden 4 Extrempunkte gefunden:
$$H_1\left(\sqrt{\frac{1}{2}};\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\quad;\quad H_2\left(-\sqrt{\frac{1}{2}};-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)$$
$$ T_1\left(-\sqrt{\frac{1}{2}};\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\quad;\quad T_2\left(\sqrt{\frac{1}{2}};-\sqrt{\frac{1}{2}}\right)$$Ohne Berücksichtigung der Nebenbedinung entfällt der Kreis mit Radius \(1\), in dem die Rechtecke, die sich ja nach der Lösung als Quadrate entpuppt haben, eingesperrt sind. Daher gibt es für die Fläche \(x_1x_2\) keine Beschränkungen mehr, sie kann sowohl ins Positive wie auch ins Negative unendlich weit wachsen.
