Surjektivität mit Zwischenwertsatz

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes die Surjektivität von

f: [0,1] -> [0,1] mit f(x) = x^(k)

Problem/Ansatz:

Beweis:

Nebenrechnung:

sin(y) = +1 für y = pi/2,

x^(2)-1=pi/2 <=> x = +- sqrt(1+(3/2)pi)

sin(y) = -1  für y = 3/2pi ,

x^(2) - 1 = 3/2pi <=> x = +- sqrt(1 + (3/2)pi)

Sei a := sqrt(1+(3/2)pi) und b := sqrt(1 + (3/2)pi).

Offenbar ist a < b. Sei y Element [-1, 1] beliebig.

Es gilt:

f(a) = sin(a^(2) - 1) = sin(1 + (pi/2) -1) = sin(pi/2) = +1

f(b) = sin(b^(2) - 1) = sin(1 + (3/2)pi -1) = sin(3pi/2) = -1, 

also ist y Element [f(a), f(b)].

Außerdem ist f (als Zusammensetzung stetiger Funktionen) stetig. Nach Zwischenwertsatz muss es dann ein x Element [a, b] Teilmenge IR (Definitionsbereich) geben mit f(x) = y.

Hi,

ich verstehe die Nebenrechnung nicht lerne gerade für die Analysisprüfung und verstehe nicht wie man auf sin(y) = 1 für  y = pi/2 & sin(y) = -1 für  y = (3/2)pi.

Wie kommt man auf die y-Werte ich verstehe das leider nicht.

Bitte um Hilfe

LG

Answer 1

Beweisen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes die Surjektivität von f: [0,1] -> [0,1] mit f(x) = x^k

Beudetet, wir wollen zeigen, dass \(f([0,1])=[0,1]\) gilt. Du könntest vielleicht die \(\text{id}_{[0,1]}\) (also \(k=1\)) verwenden, die offensichtlich surjektiv ist. Setze \(d(x):=f(x)-\text{id}_{[0,1]}\). Dann ist \(d(0)=f(0)\geq 0\) und \(d(1)=f(1)-1\leq 0\).

Würde im Umkehrschluss bedeuten (wegen der Stetigkeit von \(f\) und dem Zwischenwertsatz), dass jeder Wert zwischen \(0\) und \(1\) einmal angenommen wird.

https://www.desmos.com/calculator/7nipc7fzuf

Comments

tut mir Leid die Aufgabenstellung müsste lauten:

f:IR -> [-1, 1], f(x) = sin(x^(2) -1

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ist es \(f(x)=\sin(x^2-1)\) oder \(\sin(x^2)-1\)?

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es ist f(x) = sin(x^(2) - 1).

also alles in der Klammer ich verstehe jetzt wirklich nicht wie in der Musterlösung auf die y - Werte gekommen wurde. Wäre dankbar, wenn mich jemand aufklären könnte.

LG

Answer 2

zwischen der Aufgabenstellung und dem angegebenen Beweis kann ich keinen Zusammenhang erkennen.

f: [0,1] -> [0,1] mit f(x) = x^k

Damit sollte wohl k∈ℝ⁺ sein und f(0)=0 sowie f(1)=1

https://de.wikipedia.org/wiki/Zwischenwertsatz#Satz

Wenn man die Stetigkeit von f voraussetzt, nimmt f  nach dem Zwischenwertsatz jeden Wert aus [f(0) , f(1)] = [0,1] an und ist deshalb surjektiv.

Gruß Wolfgang

Comments

tut mir Leid die Aufgabenstellung müsste lauten:

f:IR -> [-1, 1], f(x) = sin(x^(2) -1)