Surjektivität mit Zwischenwertsatz

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes die Surjektivität von

f: [0,1] -> [0,1] mit f(x) = x^(k)

Problem/Ansatz:

Beweis:

Nebenrechnung:

sin(y) = +1 für y = pi/2,

x^(2)-1=pi/2 <=> x = +- sqrt(1+(3/2)pi)

sin(y) = -1  für y = 3/2pi ,

x^(2) - 1 = 3/2pi <=> x = +- sqrt(1 + (3/2)pi)

Sei a := sqrt(1+(3/2)pi) und b := sqrt(1 + (3/2)pi).

Offenbar ist a < b. Sei y Element [-1, 1] beliebig.

Es gilt:

f(a) = sin(a^(2) - 1) = sin(1 + (pi/2) -1) = sin(pi/2) = +1

f(b) = sin(b^(2) - 1) = sin(1 + (3/2)pi -1) = sin(3pi/2) = -1, 

also ist y Element [f(a), f(b)].

Außerdem ist f (als Zusammensetzung stetiger Funktionen) stetig. Nach Zwischenwertsatz muss es dann ein x Element [a, b] Teilmenge IR (Definitionsbereich) geben mit f(x) = y.

Hi,

ich verstehe die Nebenrechnung nicht lerne gerade für die Analysisprüfung und verstehe nicht wie man auf sin(y) = 1 für  y = pi/2 & sin(y) = -1 für  y = (3/2)pi.

Wie kommt man auf die y-Werte ich verstehe das leider nicht.

Bitte um Hilfe

LG

Answer 1

Beweisen Sie mit Hilfe des Zwischenwertsatzes die Surjektivität von f: [0,1] -> [0,1] mit f(x) = x^k

Beudetet, wir wollen zeigen, dass \(f([0,1])=[0,1]\) gilt. Du könntest vielleicht die \(\text{id}_{[0,1]}\) (also \(k=1\)) verwenden, die offensichtlich surjektiv ist. Setze \(d(x):=f(x)-\text{id}_{[0,1]}\). Dann ist \(d(0)=f(0)\geq 0\) und \(d(1)=f(1)-1\leq 0\).

Würde im Umkehrschluss bedeuten (wegen der Stetigkeit von \(f\) und dem Zwischenwertsatz), dass jeder Wert zwischen \(0\) und \(1\) einmal angenommen wird.

Comments

tut mir Leid die Aufgabenstellung müsste lauten:

f:IR -> [-1, 1], f(x) = sin(x^(2) -1

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ist es \(f(x)=\sin(x^2-1)\) oder \(\sin(x^2)-1\)?

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es ist f(x) = sin(x^(2) - 1).

also alles in der Klammer ich verstehe jetzt wirklich nicht wie in der Musterlösung auf die y - Werte gekommen wurde. Wäre dankbar, wenn mich jemand aufklären könnte.

LG

Answer 2

zwischen der Aufgabenstellung und dem angegebenen Beweis kann ich keinen Zusammenhang erkennen.

f: [0,1] -> [0,1] mit f(x) = x^k

Damit sollte wohl k∈ℝ⁺ sein und f(0)=0 sowie f(1)=1

https://de.wikipedia.org/wiki/Zwischenwertsatz#Satz

Wenn man die Stetigkeit von f voraussetzt, nimmt f  nach dem Zwischenwertsatz jeden Wert aus [f(0) , f(1)] = [0,1] an und ist deshalb surjektiv.

Gruß Wolfgang

Comments

tut mir Leid die Aufgabenstellung müsste lauten:

f:IR -> [-1, 1], f(x) = sin(x^(2) -1)