Lineare Gleichungssysteme (Gauß-Verfahren)

Question

Aufgabe:

dieses lineare Gleichungssystem soll mithilfe des Gauß-Algorithmus gelöst werden.

Problem/Ansatz:

-2x  +  3y  +  z  =  4

  -x  +  2y  +  z  =  3

 3x  -   9y + 2z = - 15

Mein Ansatz wäre, dass ich |+|| rechne und das dann mit der 3.Gleichung addiere, um das x zu eliminieren. Weiter komme ich nicht.

Answer 1

Ich würde zunächst von der II Gleichung die erste Abziehen. Und dann von der III Gleichung zweimal die erste Abziehen. Dann hast du 2 Gleichungen in denen kein z mehr vorkommt.

- 2·x + 3·y + z = 4
-x + 2·y + z = 3
3·x - 9·y + 2·z = -15

II - I ; III - 2*I

- 2·x + 3·y + z = 4
x - y = -1
7·x - 15·y = -23

III - 7*II

- 2·x + 3·y + z = 4
x - y = -1
- 8·y = -16 → y = 2

Nun kann alles rückwärts aufgelöst werden.

Answer 2

Aloha :)

$$\begin{array}{l}I: & -2x &+3y & +z & = 4\\II: &-x &+2y & +z & = 3\\III:&3x &-9y & +2z & = -15\end{array}$$

Am schnellsten geht es, wenn du spaltenweise vorgehst. Zuerst wollen wir in der x-Spalte nur ein einzelnes x haben. Dazu addieren wir \(I\) und \(II\) zu \(III\) und subtrahieren \(2\cdot II\) von \(I\):

$$\begin{array}{l}I: & 0 &-y & -z & = -2\\II: &-x &+2y & +z & = 3\\III:&0 &-4y & +4z & = -8\end{array}$$Jetzt kann man Zeile \(III\) durch \(4\) dividieren, Zeile \(I\) und \(II\) mit \(-1\) multiplizieren und Zeile \(I\) und \(II\) vertauschen:

$$\begin{array}{l}I: & x &-2y & -z & = -3\\II: &0 &+y & +z & = 2\\III:&0 &-y & +z & = -2\end{array}$$Jetzt nehmen wir uns die y-Spalte vor und addieren \(II\) zu \(III\) und \(2\cdot II\) zu \(I\):

$$\begin{array}{l}I: & x &+0 & +z & = 1\\II: &0 &+y & +z & = 2\\III:&0 &+0 & +2z & = 0\end{array}$$Zum Schluss kommt die z-Zeile dran. Wir dividieren \(III\) durch 2 und subtrahieren anschließend \(III\) von \(I\) und von \(II\):

$$\begin{array}{l}I: & x &+0 & +0 & = 1\\II: &0 &+y & +0 & = 2\\III:&0 &+0 & +z & = 0\end{array}$$Daraus kannst du die Lösung ablesen: \(x=1\;\;;\;\;y=2\;\;;\;\;z=0\).