Flächeninhalt Dreieck Trigonometrie

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Flächeninhalt des markierten Dreiecks.

Problem/Ansatz:

Ich finde leider keinen Ansatz.

Die Firmel : A= c*b*sin(alpha)/ 2 ist gegeben, mir fehlen jedoch die Werte.

Comments

Mit der Formel von Heron und dem Kosinussatz sollte es klappen.

Answer 1

Mit dem Sinussatz

        a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)

und Winkelsumme im Dreieck kannst du die unbekannte Seite und die unbekannten Winkel in dem Dreieck ACP berechnen. Löse dazu das Gleichungssystem

(1)    |AC| / sin(20,18° + 31,66°) = 40,52/sin(α₁)

(2)    24,58/sin(γ₁) = 40,52/sin(α₁)

(3)    α₁ + γ₁ + 20,18° + 31,66° = 180°.

Verfahre ebenso mit dem Dreieck BCP und ABP. Dann hast du alle erforderlichen Angaben für die Berechnung des Dreiecks ABC zusammen.

Comments

Bei (1) habe ich eine Gleichung mit 2 Unbekannten, wie soll ich so etwas lösen ?

Danke für die Hilfe :)

Answer 2

Die Seiten AC, AB und BC lassen sich  mit dem Cosinussatz ermitteln:

b²=AC²=40,52²+24,58²-2·40,52·24,58·cos(20,18°+31,66°)  (Dreieck PAC)

c²=AB²=59,56²+24,58²-2·59,56·24,58·cos(31,66°)  (Dreieck PAB)

a²=BC²=59,56²+40,52²-2·59,56·40,52·cos(20,18°)  (Dreieck PBC)

Da du nun die Seiten des Farbigen Dreiecks hast, kannst du ebenfalls mit Cosinussatz einen der drei Winkel ausrechnen und den Flächeninhalt mit der gegebenen Formel bestimmen.