Komplexe Zahlen vierten Wurzeln

Question

Aufgabe/Problem:

1.) z^4=1

2.)z^4= (3)^(1/2)-1

Wie findet man alle vierten Wurzeln ?

Danke

Answer 1

ich denke, die 2. Aufgabe lautet so: z^4= (3)^(1/2) i -1 ?

Falls nicht , sag Bescheid, dann ändere ich das um.

Comments

Und jetzt bringe das in die algebraische Form, wie es sich gehört.

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das ist die algebraische Form

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Du hast natürlich recht. Ich meinte algebraische Form mit exakten Werten (und auch ohne den Umweg über die Exponentialform).

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Mein Ergebnis ist auf jeden Fall richtig . Ich habe für solche Ergebnisse niemals Punktabzüge bekommen.

Es gibt immer mehrere Wege zum Ergebnis.

Im Übrigen wird das auch so offiziell in Hochschulen gelehrt .

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Du meinst wohl eher, in der FH wird man darauf dressiert. Speziell für 2. und 4. Wurzeln geht das viel einfacher.
Schau Dir die Lösung zu (1) von mir und RC an, dann siehst Du sehr deutlich, was ich meine.

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Ja und nun , Ihr studiert wohl beide  Mathematik und wisst eh alles besser.

Ich mache es so , wie ich es kenne und bleibe auch bei diesem Weg.

Wenn Du alles besser weist, schreibe einen eigenen Beitrag !!

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Ich weiß nicht, was oder ob RC studiert, und ich weiß auch nicht alles besser. Aber die Wurzel aus 1 sollte man auch ohne Exponentialform im Kopf rechnen können.

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Ich habe doch diese Aufgabe gar nicht gerechnet :-)

Ich habe doch die 2. Aufgabe gerechnet.

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Das war nur eine Anmerkung zur Lösung von RC und mir und Deine Reaktion darauf. Aber jetzt ist genug davon.

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Dann schreibe doch in Zukunft deine Anmerkungen NICHT bei mir sondern bei RC!!

Answer 2

es gilt \(z^4=1=1\cdot e^{0\cdot i}\), nun ist aber \(\exp(z)\) bekanntermaßen \(2\pi i\)-periodisch, was bedeutet, dass:$$z^4=e^{0i}=e^{2\pi i}=e^{4\pi i}=e^{6\pi i}$$ gilt. Ziehe nun noch die vierte Wurzel und du erhältst deine Ergebnisse.

Answer 3

\( z^4 = 1 \)

\( z_1^2 = -1 \)

\( z_2^2 = +1 \)

\( z_{1;1} = −i \)

\( z_{1;2} = +i \)

\( z_{2;1} = −1 \)

\( z_{2;2} = +1 \)

oder

$$ z^4 = 1 \iff 0 = z^4-1 = (z^2-1)(z^2+1) = (z-1)(z+1)(z^2+1)  = (z-1)(z+1)(z-i)(z+i) $$

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$$ \begin{aligned} z_0 &= { \sqrt{3} + i \over 2^{3/4}} \cr z_1 &= {- 1+\sqrt3 i \over 2^{3/4}} \cr z_2 &= {-\sqrt3-      i \over 2^{3/4}} \cr z_3 &= {1-\sqrt3 i \over 2^{3/4}} \cr \end{aligned} $$