Gradient von ln(r)/r berechnen

Question

wie lautet der Gradient von ln(r)/r? Ich weiß nicht, wie ich partiell nach den Komponenten ableiten soll.

Comments

Soll r für \(|\vec{r}|\) stehen?

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Ja, r soll der Betrag des Vektors sein.

Answer 1

Aloha :)

Wenn die Funktion nur vom Betrag des Vektors abhängt und nicht von seinen einzelnen Komponenten, gilt für den Gradienten:

$$\text{grad}\,f(r)=f'(r)\cdot\frac{\vec r}{r}$$Das heißt, du musst die Funktion einfach nur nach \(r\) ableiten und dann mit dem Einheitsvektor \(\vec r^0=\vec r/r\) multiplizieren.

$$\text{grad}\left(\frac{\ln(r)}{r}\right)=\left(\frac{\ln(r)}{r}\right)'\cdot\frac{\vec r}{r}=\frac{\frac{1}{r}\,r-\ln(r)}{r^2}\cdot\frac{\vec r}{r}=\frac{1-\ln(r)}{r^3}\,\vec r$$