Eigenvektor und Eigenwert

Question

Könnte mir jemand freundlicherweise erklären was Eigenwerte und Eigenvektoren sind?

Was wozu man sie braucht und wozu man sie nutzt?

Die Eintröge im Netz sind für mich nicht so verständlich...

Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar...

Answer 1

Ist A eine quadratische Matrix und v != 0 ein Vektor passender Dimension, und λ eine reelle oder komplexe Zahl, und gilt

A * v = λ * v

dann ist λ ein Eigenvektor von A und λ der zugehörige Eigenwert.

Anders gesagt entsteht aus dem Vektor v durch die Multiplikation mit der Matrix A ein linear skalierter Vektor v', wobei v und v' dieselbe Richtung aufweisen.

Wozu benötigt man Eigenwerte und Eigenvektoren?

- Diagonalmatrizen sind leicht zu handhaben. Eigenvektoren werden zur Diagonalisierung von Matrizen verwendet.

- Matrizen repräsentieren lineare Abbildungen (Drehung, Scherung, Spiegelung). Eigenvektoren geben die Geraden an, die dabei erhalten bleiben. Strecken auf diesen Geraden werden um die Eigenwerte gestreckt bzw. gestaucht.

- Invarianten physikalischer Systeme: Eigenfrequenzen, Eigenmoden (Eigenformen) und gegebenenfalls auch Dämpfungscharakteristik einesschwingfähigen Systems, Knicklast eines Knickstabs, Hauptspannungen in der Festigkeitslehre

- Lösungen von linearen Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Answer 2

es gibt dazu folgende Links: (z.B.)

https://www.matheretter.de/wiki/eigenvektoren-eigenwerte

https://www.youtube.com/watch?v=kSMwB8HBCGQ

die kannst Du Dir ja erstmal durchlesen.

Ein Anwendungsbereich sind  z.B. die Lösung von Differentialgleichungen.

Answer 3

Aloha :)

Bei einer linearen Abbildung, realisiert durch eine Matrix \(A\), kann es vorkommen, dass es Vektoren \(\vec x\) gibt, deren Richtung nach Durchführung der Abbildung dieselbe ist wie vor Durchführung der Abbildung. Die Länge solcher Vektoren \(\vec x\) kann sich jedoch um einen Faktor \(\lambda\) ändern. Die Vektoren \(\vec x\), die ihre Orientierung bzw. Richtung beibehalten, heißen Eigenvektoren und die zugehörgen Skalierungs-Faktoren \(\lambda\), um die sich die Länge des Eigenvektors ändert, heißen Eigenwerte. In Formeln bedeutet dies:

$$A\vec x=\lambda\cdot\vec x$$

Da die Richtung eines Eigenvektors \(\vec x\) erhalten bleibt, kann der Nullvektor niemals Eigenvektor sein, denn er hat keine Richtung. Es kann vorkommen, dass mehrere Eigenvektoren denselben Eigenwert (also Skalierungsfaktor) haben.

Mit Hilfe von Eigenvektoren kann man bei z.B. bei Drehungen herausfinden, welches die Drehachse ist, denn die bleibt ja bei Drehungen ungeändert. Man kann auch die Eigenvektoren einer Matrix als Basis für das Koordinatensystem wählen, was dazu führt, dass die Matrix in dieser Basis Diagonalgestalt hat, auf der Hauptdiagonale liegen die Eigenwerte und alle anderen Matrixelemente sind dann Null. Dadurch lassen sich Rechnungen oft sehr vereinfachen.