Größten und kleinsten Wert von 2x^2 + 3y^2 finden unter folgenden Bedingungen?

Question

1. x+y=2

2. x≥0

3. y≥0

Wie macht man das?:D

Comments

Hallo Misa,
nach einigen Irrungen und Wirrungen
ist die Aufgabe geklärt-
Siehe meine Antwort.
Ich kann dir die Kurzfassung
gern noch einstellen.
Bei Bedarf nachfragen.

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ist die Aufgabe geklärt

Unter Umständen nicht. So wie die Aufgabe gestellt ist, würde ich vermuten, dass eine Lösung mit Lagrange Multiplikator verlangt wird. Das hat aber noch keiner geliefert ...

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Und ich dachte, dass meine Antwort schon die vollständige Lösung enthielt....

Answer 1

1. x+y=2 oder y=2-x

Letzteres für y in 2x²+3y² einsetzen und das Minimum suchen. Einen größten Wert gibt es nicht.

x=1,2; y=0,8

Comments

Du meinst einen kleineren Wert, oder?

Answer 2

y=2-x

2x^2+3(2-x)^2=5x^2-12x+12

f(x)=5x^2-12x+12

f'(x)=10x-12=0

x=1,2 ; y=0,8

Kleinster Wert: 4,8

Den größten Wert findest du als Randmaximum. Für x=0 und y=2 ist das 12.

Comments

Hallo Herr_P,
x^2+3(2-x)^2=5x^2-12x+12
hier muß es glaube ich
2 * x^2+3(2-x)^2=...
heißen
mfg Georg

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Danke, stimmt. Übertragungsfehler vom Papier zum Computer.

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Mein Standardkommentar,
Niemand ist durch ein langes Berufsleben gegangen
dem nicht auch einmal ein Fehler passiert wäre.
Niemand ist perfekt.
Weder du, noch ich, noch sonstwer.

Zur Erbauung
Wenn du es eilig hast dann gehe langsam.

Answer 3

x+y=2 => y = 2 - x

2x^2 + 3y^2
2*x^2 + 3*(2-x )^2
2*x^2 + 3 * ( 4 - 4x + x^2 )
2 * x^2 + 12 - 12x + 3x^2
-x^2 - 12x + 12

f ( x ) = -x^2 - 12x + 12
Dies ist eine nach unten geöffnete Parabel
mit Scheitelpunkt bei ( -6 | 48 )
x ≥ 0 und y ≥ 0
f ( x ) = -x^2 - 12x + 12
für x = 0 gilt y = 12
einen größeren y-Wert gibt es für x ≥ 0 nicht
( 0 | 12 )
Nullstelle y = 0
f ( x ) = -x^2 - 12x + 12 = 0
x = 0.93
( 0.93 | 0 )

Zwischen x = 0 und x = 0.93 sind
alle y-Werte positiv
Größter x-Wert : 0.93
Größter y-Wert : 12

Comments

2x^2 + 3x^2 sind nicht -x^2.

Die NB x ≥ 0 sollte einem hier zu denken geben.

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Danke für den Fehlerhinweis Larry,
2*x^2 + 3*(2-x )^2

Korrektur
f ( x ) = 5x^2  - 12x + 12
Bereichsbedingung
x ≥ 0 und y ≥ 0
x geht von 0 bis unendlich
y von 24/5 bis unendlich
Min ( x = 6/5 | y = 24/5 )
Max ( x = unendlich | y = unendlich )

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Max ( x = unendlich | y = unendlich )

Das kann nicht sein, denn:

Aus x≥0 und y≥0 sowie x+y=2 folgt, dass x und y zwischen 0 und 2 liegen müssen. Wenn die Parabel für x bis 2 gezeichnet wird, sieht man, dass das Maximum bei x=0 liegt. Dort hat die Kurve zwar keine waagerechte Tangente, aber wenn Die Definitionsmenge ein endliches Intervall ist, können Minimum und Maximum auch am Rand liegen.

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Ich habe es mir einfach gemacht und x + y = 2
= > y = 2 -x eingzeichnet
Alles unterhalb der roten Geraden gehört zur möglichen
Lösung.
Blau und Rot ergibt keine Lösung
Richtig oder falsch?

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Die blaue Kurve stellt ja den gegebenen Term, also die Summe dar. Insofern ist das y an der senkrechten Achse irreführend.

Und mögliche Werte für x und y sind auf der roten Geraden, nicht unterhalb.

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Das y wird vom Matheprogramm automatisch
generiert.

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Das ist mir klar. Ich wollte nur auf mögliche Verständnisschwierigkeiten hinweisen.

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@Herr_p,
Und mögliche Werte für x und y sind auf der roten Geraden, nicht unterhalb.
Danke für den Hinweis.

Ich habe unter Berücksichtigung aller Angaben
beide Funktionen als 3-D-Plot zeichnen lassen.
Die Funktionen habe keinen Schnittpunkt.

Kann jemand etwas dazu sagen ?
Kennt jemand eine andere / richtige Lösung ?

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Ich denke ich habe oben zu kompliziert gedacht
Die blaue Kurve dürfte richtig sein.
Die y-Bezeichnung für die y-Achse ist nicht richtig:
f ( x ) ist richtig

( x |  y )
( x | 2 - x )
( x |  y )  =>  f ( x )
( 0 | 2 ) = 12 Randmaximum
( 2 | 0 ) = 8 rechter Rand
Scheitelpunkt
( 6 / 5 | 4 / 5 ) = 24 / 5 Minimum

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Kann jemand etwas dazu sagen ?

Ja - die Funktion \(x+y=2\) ist eine Ebene, die senkrecht auf der xy-Ebene steht und die Schnittlinie mit der Funktion \(z=2x^2+3y^2\) ist eine Parabel, deren Minimum in \(z\) bei \(x=6/5\) und \(y=4/5\) liegt (s. Antwort von Herr_P).

Die blaue Ebene in Deinem Plot ist die Ebene \(z=x+y-2\) und nicht \(0=x+y-2\)

siehe Wolfram Alpha:

Perspektive aus der Richtung von Z also von oben gesehen.

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Hallo Werner-Salomon,
Wolfram Alpha hat dasselbe Minimum heraus.
Mein linkes Randmaximum bei x,y ( 0 | 2 )
dürfte richtig sein.
mfg Georg

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Mein linkes Randmaximum bei x,y ( 0 | 2 ) dürfte richtig sein.

das hat ja auch niemand angezweifelt. Mein Kommentar bezog sich auf Deine Aussage:

Die Funktionen habe keinen Schnittpunkt. .... Kann jemand etwas dazu sagen ?

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Nur etwas Kommunikationsprobleme.
Wolfram hat das Minimum berechnet
das Randmaximum aber nicht angegeben.
Deshalb nochmals mein Hinweis.

Zur Erheiterung. Aus der Rubrik
Die besten Stilblüten aus Mathelounge

Was ist Newton ? Hat jemand eine Tabelle ?

Lieber Antwortender,
danke für deine schnelle Beantwortung.
Aber nun verstehe ich gar nichts mehr.

Ich wär euch über einen Rechenfehler sehr dankbar !

Im Dreieck vier fehlende Seiten berechnen

mfg Georg