Gegeben ist eine Funktion f mit f(x)=x^{4}-6x^{3}+12x^{2}-8x

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Funktion f mit f(x)=x^4-6x^3+12x^2-8x

a)Berechne die Nullstellen der Funktion (vollständige Rechnung) → GTR

b)Begründe: Eine ganzrationale Funktion mit Grad 4 kann höchstens vier Nullstellen haben.

(Tipp: Hätte sie z.B. fünf Nullstellen, könnte man auch fünfmal die Polynomdivision anwenden.)

Problem/Ansatz:

Vorallem b) ist mein Problem und was ist die Polynomdivision?

Answer 1

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra kann ein Polynom nur genau so viele Nullstellen haben wie der höchste Exponent, in diesem Fall also \(4\), wobei sich nicht alle in den reellen Zahlen befinden (das ist aber eine andere Geschichte). Bei der vorliegenden Funktion entspringt die Lösung \(x_1=0\) der Verwendung des Satzes vom Nullprodukt. Dann müsstest du eine Nullstelle raten, dann Polynomdivison machen und danach hast du eine quadratische Funktion, deren Lösungsverfahren du kennen solltest.

Answer 2

a) Mit GTR müsstest du erkennen, dass x₁=0 und x₂=2 Lösungen sind.

x4-6x3+12x2-8x =x (x³-6x²+12x-8)

Polynomdivision:

(x³-6x²+12x-8):(x-2)=x²-4x+4

(x³-2x²)

-----------

      -4x²+12x

      (-4x²+8x)

      --------------

                   4x-8

                   4x-8

                   -------

                          0

Jetzt musst du noch 0=x²-4x+4 lösen.

Das ergibt als zwei weitere Lösungen ebenfalls 2.

x₂=2 ist daher dreifache Lösung. Das erkennt man auch beim dort vorliegenden Sattelpunkt.

https://www.desmos.com/calculator/2guffbhaaj

b) Wenn eine Funktion f(x) 4 verschiedene Nullstellen b, c, d, e besitzt, kann sie durch Linearfaktoren dargestellt werden: f(x)=a(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)

Beim Ausmultiplizieren erhält man eine Funktion 4. Grades. Bei 5 Nullstellen entsprechend 5. Grades.