Integralrechnung mit arcsin(x)

Question

Integral lösen:

\( \int \limits_{0}^{1 / 2} \frac{\arcsin (x)}{\sqrt{1-x^{2}}} d x \)

Mag mir jemand (am besten mit Zwischenschritten) erklären, wie man dieses Integral löst? Ich komme mit dem arcsin nicht richtig zurecht.

Answer 1

setze u = arcsin(x)
dann ist du/dx = 1/√(1-x²)
und dx = du/(1/√(1-x²))

∫arcsin(x)/√(1-x²) dx = ∫u/√(1-x²) dx =
∫u/√(1-x²) du/(1/√(1-x²)) =
∫u du

die lösung dieses integrals ist u²/2 + c
durch rücksubstitution bekommt man
u²/2 + c = 1/2 arcsin²(x) + c

unter beachtung der grenzen von 0 bis 1/2 ergibt das
1/2 arcsin²(1/2) - 1/2 arcsin²(0) ≈ 0,1371

Answer 2

Hi,

eine sinnvolle Substitution und man ist gleich fertig ;).

\(arcsin(x) = u  \to du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\)

Ergibt direkt:

$$\int\ u\ du$$

Also:

$$\frac12arcsin(x)^2+c$$

Grüße