Ableitung von x^{x} - Wie mache ich das korrekt?

Question

Aufgabe:

\(\frac{d}{dx}x^{x} \)

Per Summenregel erhalte ich: $$x^{2x-2}.$$


Obiges ist falsch ! 
Wenn ich es online überprüfe, kommt allerdings etwas anderes raus:

Wolframalpha sagt: $$\frac{d}{d x}\left(x^{x}\right)=x^{x}(\log (x)+1)$$

Ableitungsrechner.net sagt: $$=x^{x}(\ln (x)+1)$$

Problem/Ansatz:

Ich weiss nicht wie diese Art der Ableitung zustande kommt. 
Wo kann ich solcheAusdrücke ableiten lernen ? 
Denn es geht ja nicht um diese eine Aufgabe sondern dass man die Fertigkeiten dazu sich langfristig aneignet. 

Besten Dank im Voraus !

Answer 1

Nomalerweise hast Du die Form "Funktion hoch Konstante" (z.B. x^2) oder auch "Konstante hoch Funktion" (z.B. 2^x). Hier hast Du die Form "Funktion hoch Funktion", da musst Du ganz anders vorgehen.

(1) y(x) = f(x)^{g(x)}

<=> y(x) = exp(ln(f(x)^{g(x)}))

<=> y(x) = exp(g(x)*ln(f(x)))

nun beide Seiten ableiten (Ketten- und Produktregel).

(2) y(x) = f(x)^{g(x)}

<=> ln(y(x)) = ln(f(x)^{g(x)})

<=> ln(y(x)) = g(x) ln(f(x))

nun beide Seiten ableiten.

(2) bekommst Du auch aus (1), wenn Du die letzte Zeile logarithmierst. Die logarithmische Methode (2) ist in fast allen Fällen schneller und deutlich effektiver, als die exponentielle in (1).

Comments

Nomalerweise hast Du die Form "Funktion hoch Konstante" (z.B. x2) oder auch "Konstante hoch Funktion" (z.B. 2x). Hier hast Du die Form "Funktion hoch Funktion", da musst Du ganz anders vorgehen.

Feedback: Das habe ich sehr gut verstanden ! Vielen Dank ! 
Frage (a) : Hast du einen Tipp, wie ich das schnell "zu sehen" lerne, 
damit mir das nicht wieder passiert? 

(1) y(x) = f(x)g(x)
<=> y(x) = exp(ln(f(x)g(x)))
<=> y(x) = exp(g(x)*ln(f(x)))

nun beide Seiten ableiten (Ketten- und Produktregel).

Feedback: Im ersten schritt, hast du das, was du erkannt hast, sofort als solches formal aufgeschrieben: "Eine Funktion hoch eine Funktion". Wenn ich zwei Funktionen in einer Funktion habe, schreit das bei mir sofort nach Kettenregel. Ohne es auszuprobieren, denke ich dass es fehlschlägt.

Frage (b): Du hast aber auf diese Verkettung von \(f(g(x))\) nun \(ln\) angewendet (Term verändert).  dann erhältst du \(ln(f(g(x))).\)
Du wendest aber sofort \(e\) auf das ganze an und dadurch bleibt der Term insgesamt doch unverändert. 
Das einzige was geschieht, ist die Umschreibung und die Umschreibung ist einfacher per Kettenregel differenzieren. Habe ich das richtig nachvollziehen können ?

 (2) y(x) = f(x)g(x)

<=> ln(y(x)) = ln(f(x)g(x))

<=> ln(y(x)) = g(x) ln(f(x))

nun beide Seiten ableiten.

Feedback: 
Du siehst sofort, dass die zu differenzierende Funktion die Form: "Funktion hoch Funktion" hat. 
Du machst auf beiden Seiten \(ln(..).\)
Du wendest auf der Rechten Seite der Gleichung die Regel an: \(ln(a^x) = x*ln(a).\) 
- - - Bisher habe ich es Verstanden - - - 
Frage (c):
Wie aber leitest du es dann ab? Das sehe ich hier noch nicht so genau. 
(d) Wie heisst, diese Art abzuleiten ? Denn ich möchte dazu noch mehr Aufgaben lösen um das Flair dafür zu bekommen. 

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Ich habe nun deine weiteren Kommentar in racine_carrée's Antwort gesehen. 

Trotzdem habe ich Mühe, kannst du mir ein Übungsblatt oder etwas zu diesem Thema empfehlen ? Oder einen Abschnitt in einem Buch ? 

Besten Dank ! :)

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(a) Die Funktionsvariable (meist x) befindet sich nur in der Basis, oder nur im Exponenten, oder in beiden.

(b) Kettenregel heißt "Funktion von Funktion", also f(g(x)), Du hast hier eine Verknüpfung f^g (analog zu f+g oder f*g).

Auf f^g wird nun gleichzeitig exp und ln angewendet: exp(ln(f^g)) = f^g, da exp und ln Umkehrfunktionen sind und sich gegenseitig aufheben. Nach den ln-Gesetzen gilt ln(f^g) = g ln(f). Damit hast Du eine Potenz in eine Multiplikation umgewandelt, und kannst diese nach der Produktregel ableiten. Wegen der äußeren exp-Funktion brauchst Du vorher noch die Kettenregel.

(c) Links nach der Kettenregel, rechts Produktregel (und Kettenregel).

(d) Das nennt sich "logarithmisch ableiten" und ist viel leichter, da ln(f(x)) nach der Kettenregel einfach f'/f ist.

Answer 2

siehe hier:

https://www.youtube.com/watch?v=Ct0zE_yd5Fc

Comments

Das Video ist nicht verfügbar.

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Du merkst auch alles

:-)

Answer 3

Überführe die Exp.funktion in die natürliche Exponentialfkt.

\(x^x = e^{x\cdot \ln x}\)

Abgeleitet ergibt das dann \( [x^x]' = e^{x\cdot \ln x} \cdot [x\cdot \ln x]' =  e^{x\cdot \ln x} \cdot x(\ln(x) +1)\), wobei man \(e^{x\cdot \ln x}\) wieder zu \(x^x\) umformen kann.

\([x^x]' = e^{x\cdot \ln x} \cdot x(\ln(x) +1)\ = x^x (\ln(x) +1)\)

Comments

Recap: 

1. Überführen (auf diese Idee mit \(e^x\) und \(lnx\) wäre ich nicht gekommen)  und dann erhalte ich $$e^{x*ln(x)}.$$ 

2. Der Exponent ist kommutativ und lässt sich so umschreiben $$ e^{ln(x)*x}.$$

3. Nun erinnere ich mich aus der Schulzeit, dass \(e^{ln(x)} = x\) ist. Das führt den obersten Ausdruck in diesem Kommentar dann insgesamt zu: $$x^x.$$

Deswegen sehe ich dass sie gleich sind, also:  $$x^x = e^{x*ln(x)}.$$


Ableitung:

Answer 4

Implizite Differentiation:

f(x)=x^x

ln(f(x))=x*ln(x)

1/f(x)*f'(x)=x*1/x+ln(x)

f'(x)=(1+ln(x))*f(x)

Comments

Uii mit impliziter Differentation kenn ich mich gar nicht aus.

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Implizite Diff. geht wie normale Diff., linke Seite und rechte Seite jeweils ableiten.

Wenn Du z.B. ln(sin(x)) ableitest, wendet Du die Kettenregel an (nachdiff.), bei ln(f(x)) machst Du es ganz genauso. Du musst nur beachten, dass f(x) nicht bekannt ist, die Ableitung also nur als f'(x) angegeben werden kann.

Genau genommen, wendet man immer impl. Diff an. Bei y = sin(x) gilt: linke Seite ableiten y → y', rechte Seite ableiten: sin(x) → cos(x). Achtung: y ist eine Funktion und keine Variable. Ebenso f(x) = sin(x); links f(x) → f'(x), usw.

Answer 5

x^x = e^(x*lnx)

--> e^(x*lnx)*(ln+1*1/x) = x^x*(lnx+1)