Beweisen, dass die Ungleichung x^2 - 2x + 3 > 0 für alle reellen Zahlen x erfüllt ist

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Mein Problem:

Ich würde gerne am Ende weiter rechnen, um auf x zu kommen. Wenn ich jedoch auf beiden Seiten (-2) rechne, steht rechts -2

Will ich nun das (hoch 2) wegbekommen, müsste ich doch auf beiden Seiten Wurzel ziehen. Mit negativen Zahlen geht das aber nicht (die -2 rechts).

Wie gehe ich vor?

Comments

Für jede reelle Zahl x ist x² ≥ 0

Außerdem gilt für a≥c und b≥d auch a+b≥c+d.

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Die Aufgabe heißt:

Zeigen Sie, dass x²-2x+3>0

Ideen zur Lösung stehen im Kasten darunter.

Answer 1

Ich würde gerne am Ende weiter rechnen, um auf x zu kommen.

Warum um Himmels Willen willst du das tun?

(x-1)² ist immer größer oder gleich 0, und (x-1)² +2 ist demzufolge immer größer oder gleich 2. Damit ist der Term FÜR ALLE x größer als 0.

Comments

Nur theoretisch.

Wenn anstatt dem größer Zeichen ein Gleichzeichen da wäre, würde ich ja wieder vor dem selben Problem stehen...

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Der Term ist immer größer oder gleich ZWEI.  Er wird nie (für kein x dieser reellen Welt) gleich Null.

Answer 2

Wenn du dir die Parabel mit f(x)=x²-2x+3 anguckst, siehst du, dass die Kurve vollständig oberhalb der x-Achse verläuft, dass also die y-Werte immer größer als o sind.

Der umgeformte Term, also f(x)=(x-1)²+2, wird auch Scheitelpunktform genannt. Der Scheitelpunkt liegt bei S(1|2), die Parabel ist nach oben geöffnet, also gibt es keine y-Werte, die kleiner oder gleich null sind.

https://www.desmos.com/calculator/uf6ueucgpr