Das ist das sogenannte Auslastungsmodell. Man kann das recht gut mit einer Binomialverteilung nähern.
Bei 100 Kunden a 5 Minuten Gesprächsdauer fällt eine Gesamtgesprächsdauer von 500 Minuten pro Stunde an. Wenn man das optimal aufteilen könnte würden 9 Mitarbeiter langen die ja 9 * 60 = 540 Minuten pro Stunde zusammen arbeiten.
Das Problem am Auslastungsmodell ist, das im Worstcase alle Kunden zur selben Zeit anrufen.
Nehmen wir uns mal eine beliebige Minute aus der Stunde heraus die wir betrachten wollen.
In dieser Minute könnten prinzipiell alle 100 Kunden gleichzeitig anrufen. Tun sie zum Glück aber nicht.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ruft also ein Kunde zu einer speziellen Minute an? Da ein Kunde 5 von 60 Minuten die Hotline in Anspruch nimmt, ist die WK, 5/60, dass er zu dieser bestimmten Minute einen Call-Center Mitarbeiter benötigt.
Die WK das genau 10 Mitarbeiter in dieser Minute gebraucht werden ist also
P(X = 10) = (100 über 10)·(5/60)^10·(55/60)^(100 - 10) = 0.1111
Die Wahrscheinlichkeit das 10 oder weniger Mitarbeiter benötigt werden ist
P(X <= 10) = ∑ (x = 0 bis 10) ((100 über x)·(5/60)^x·(55/60)^(100 - x)) = 0.7894419673
Die Wahrscheinlichkeit das 11 oder weniger Mitarbeiter benötigt werden ist
P(X <= 11) = ∑ (x = 0 bis 11) ((100 über x)·(5/60)^x·(55/60)^(100 - x)) = 0.8720
Die Wahrscheinlichkeit das 12 oder weniger Mitarbeiter benötigt werden ist
P(X <= 12) = ∑ (x = 0 bis 12) ((100 über x)·(5/60)^x·(55/60)^(100 - x)) = 0.9277
Das bedeutet jetzt aber das man mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 - 0.9277 = 0.0723 = 7.23% mehr als 12 Mitarbeiter benötigt. Da dieses die Geforderten 10% unterschreitet langen wir mit 12 Mitarbeitern aus.
