Exponentialfunktion, Tangente

Question

Hey

Die Aufgabe lautet : Der Graph der natürlichen Exponentialfunktion schließt mit der Tangente im Punkt P(2/ f(2)) und den Koordinatenachsen eine Fläche ein.Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.

Als Funktion habe ich f(x)= e^x -7,39x-7,39 und als Stammfunktion F(x)= e^x  - 3,695 x² - 7,39x heraus.Die Grenzen wären dann 0 und 1. Nur mein Ergebnis stimmt nicht.Kann einer mir helfen

Answer 1

f(x) = f'(x) = e^x

t(x) = f'(2)·(x - 2) + f(2) = e^2·(x - 1)

y-Achsenabschnitt

t(0) = -e^2

Nullstelle

t(x) = e^2·(x - 1) = 0 → x = 1

Dreiecksfläche

A = 1/2·1·e^2 = 1/2·e^2 = 3.695

Comments

Wenn das Ergebnis 3,696 ist ,dann stimmt dies nicht.Es muss 2,69 rauskommen.

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Stimmt. Ich hatte ausgerechnet welche Fläche die Tangente mit den Koordinatenachsen einschließt.

Hier die richtige Fläche

A1 = ∫ (0 bis 2) e^x dx = e^2 - 1

A2 = ∫ (1 bis 2) (e^2·(x - 1)) dx = e^2/2

A = A1 - A2 = e^2 - 1 + e^2/2 = e^2/2 - 1 = 2.694528049

Hier eine Skizze der Fläche:

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Aber warum nimmt man denn jetzt 1 und 2 als Intervall?Die Fläche ist dann doch außerhalb

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Ich nehme die Fläche unter der e-Funktion im Intervall [0 ; 2] und ziehe dann die Fläche zwischen Tangente und x-Achse im Intervall [1 ; 2] ab. Das ist einfacher. Weil du dann zwei einfache Funktionen hast.

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Ahhhhhhhhh,jetzt habe ich verstanden.          

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Prima. Man muss das natürlich nicht so machen, aber ich denke es erleichtert das Rechnen ein wenig.

Answer 2

Gleichung der Tangente:

y=e^x

a) 1. Ableitung : y'=e^x

b)y'(2)= y'=e^2 =m

c)  2 in die Aufgabe(y=e^x) einsetzen :

y=e^2

d)y=mx+b

e^2= e^2 *2 +b

- e^2= b

->

Gleichung der Tangente :

y=e^2 x - e^2 =e^2(x-1)

Comments

Die Tangentengleichung hatte ich auch raus,nur den Flächeninhalt nicht

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Mathecoach hat den Text nicht richtig gelesen und die falsche Fläche berechnet. Die Teilfläche im Intervall [0,1] ist die Fläche zwischen e-Funktion und x-Achse (ca. 1,72 FE), und im Intervall [1,2] liegt die Fläche zwischen Funktion und Tangente (ca. 0,98 FE).

Alternativ kann man die Fläche zwischen Graph und Tangente im Intervall [0,2] berechnen und die Dreiecksfläche im 4. Quadranten subtrahieren.

PS: Der Löwe war schneller...

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Wie ist man auf die Werte von A2 gekommen?

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Wieso liegt die Fläche im Intervall von 1 bis 2? Laut dem Taschenrechner muss es doch zwischen 0 und ca. 1,5 sein oder?