Wie nachweisen, ob die Funktion quadratisch ist? Wertetabelle mit t in [s] und s in [cm]

Question

Aufgabe:

Wertetabelle mit t in [s] und s in [cm].

Ich soll ueberpruefen, ob diese Funktion quadratisch ist. Doch wie mache ich das?

Ich könnte gucken ob man das in eine Parabel-Form schreiben kann aber ich weiß Faktor a fuer die Streckung oder Stauchung doch gar nicht

Kann mir bitte jemand helfen

Answer 1

Du nimmst 3 beliebige Werte aus deiner Wertetabelle
f ( 0 ) = 3.2
f ( 1 ) = 35.4
f ( 2 ) = 111.5

Allgemeine Form einer quadratischen Gleichung
s ( t ) = a * t^2 + b * t + c

eingesetzt
s ( 0 ) = a * 0^2 + b * 0 + c = 3.2 
s ( 1 ) = a * 1^2 + b * 1 + c = 35.4
s ( 2 ) = a * 2^2 + b * 2 + c = 111.5

c = 3.2
a + b + c = 35.4
4a + 2b + c = 111.5

lösen
s ( t ) = 22.1 * t^2 + 10.1 * t + 3.2

Jetzt kannst du noch die Funktion mit 2-3 Werten
aus deiner Wertetabelle überprüfen.

Comments

Wie sind sie unten auf die 22,1 und 10,1 gekommen?

Und wo kommt das 4a+2b+c her? Ab dem c=3,2 kann ich nicht mehr folgen, woher wissen sie dass c 3,2 ist und nicht zum beispiel a?

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s ( 0 ) = a * 0^2 + b * 0 + c = 3.2 
s ( 0 ) = 0 + 0 + c = 3.2  => c = 3.2

s ( 1 ) = a * 1^2 + b * 1 + 3.2 = 35.4
s ( 2 ) = a * 2^2 + b * 2 + 3.2 = 111.5

s ( 1 ) = a * 1 + b * 1 = 32.2
s ( 2 ) = a * 4 + b * 2 = 108.3

a  + b  = 32.2
4a  + 2b  = 108.3

b = 32.2 - a
Einsetzen
4 * a + 2 * ( 32.2 - a ) = 108.3
4a + 64.4 - 2a = 108.3
2a = 108.3 - 64.4 = 43.9
2a = 43.9
a = 21.95

b = 32.2 - a
b = 10.25

f ( t ) = 21.95 * t^2 + 10.25 * t + 3.2
Die Lösung stimmt.
In der ersten Antwort war irgendwo ein
kleiner Fehler.

Farg nach bis alles klar ist.

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Wie sind sie bis zur 43.9 gekommen also was haben sie da genau gerechnet?

Soweit hab ich es verstanden!

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Also ist der Graph aufjedenfall Quadratisch?

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a  + b  = 32.2
4a  + 2b  = 108.3

Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem
mit 2 Unbekannten das gelöst werden muß.

Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren.

Sollte aber bekannt sein.

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Und wie sind sie unten auf 43,9 gekommen? Wie haben Sie da gerechnet? Und aufeinmal stehen da 2 Gleichheitszeichen?

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Vielleicht ist für dich die Schreibweise ungewohnt
2a = 108.3 - 64.4 = 43.9

Langfassung
2a = 108.3 - 64.4
2a = 43.9

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Stell einmal ein Foto der Aufgabe ein.

Ansonsten können wir auch das Aufstellen
einer Parabelfunktion anhand von 3 Punkten
üben.

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Und wie sind sie darauf gekommen, dass es zu 2a=108,3-64,4 gekommen ist? Also wie genau haben sie eine zeile drueber dann gerechnet?

Die aufgabe ist von der tafel abgeschrieben und mehr als das oben angehängte habe ich selbst nicht, aber wuerde mich freuen, wenn wir das ueben koennten!

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2a = 108.3 - 64.4

108.3 minus 64.4 = 43.9

2a = 43.9 

Sollte man aber können.

Schick einmal eine e-mail an
georg.hundenborn@t-online.de
Dann machen wir die Nachilfe über e-mail.

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4a + 64.4 - 2a = 108.3
2a = 108.3 - 64.4 = 43.9

Okay jetzt weiß ich genau wo es hakt, wie sind Sie die 4a losgeworden und haben die 2a auf die andere seite bekommen?

Der Rest leuchtet ein!

Ich habe eine E-Mail geschrieben

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4a + 64.4 - 2a = 108.3
4a - 2a = 108.3 - 64.4
2a = 43.9

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Meine 1.e-mail ( bitte antworten ) kam als
nicht zustellbar zurück !

Hier meine Antwort


Eine Übungsaufgabe zu : wie komme ich von 3 Punkten auf die Parabelfunktion.

allgemeine Parabel

f ( x ) = a * x^2 + b * x + c

Punkte
( x | y )
( 3 | 21.5 )
( 1 | 3.5 )
( 2.2 | 12.38 )

1.Schritt : die Punkte einsetzen
die 1.Gleichung lautet dann
f ( 3 ) = a * 3^2 + b * 3 + c = 21.5

f(1) = ...
f(2,2) =...

Deine Antwort kannst du hier eingeben
oder versuch es noch einmal per e-mail.

Answer 2

t gegen s^2 auftragen, das sollte dann eine Gerade ergeben.

Comments

Wie traegt man das auf? Koennen sie mir das vorrechnen?

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willyengland meint zeichnen. "Auftragen" bedeutet "einzeichnen". Ergänze in der Wertetabelle eine dritte Zeile mit den Werten von s^2. D.h. berechne 3.2^2, 4,5^2, usw. Nun horizontal t und vertikal s^2 einzeichnen.

Ich würde das aber auch noch mit √(s) (= Wurzel von s) versuchen, und zu t jeweils √(s) einzeichnen. Kann sein, dass die Punkte dann auf einer Geraden liegen.

Answer 3

Für mich sieht es so aus, dass es am Anfang von t=0s bis ca. 0,6s parabelförmig verläuft und ab ca. 1,2s linear, also geradlinig.

Ab 1,2s kommen nämlich immer 15,4cm bis 15,5cm alle 0,2s hinzu.

Das ist bestimmt eine Messung zum Fall eines Papierblattes, bei dem die Luftreibung bewirkt, dass die Geschwindigkeit nach einer kurzen Beschleunigungsphase konstant ist. Im Prinzip wie ein Fallschirm, bei dem man auch nicht immer schneller werden will. :)

Answer 4

jetzt haben schon vier Leute geantwortet und nur einer hat's gemerkt. Die oben angegebene Funktion ist weder quadratisch noch linear, sondern beides! Die Werte mit  \(x\le 1,2\) werden recht genau durch die Parabel \(p(x)= 32,202x^2+3,21\) abgedeckt und die Werte \(x \ge 1,2\) erfüllen die lineare Funktion \(g(x)=77,35x-43,20\).

Auf diesem Bild ist es gut zu sehen:

Die roten Rauten sind die Messwerte. Die blaue Kurve ist die Parabel für alle Punkte mit dem 'best fit'. Sie tifft die Punkte ungefähr. Die grüne Parabel und die gelbe Gerade sind die Graphen der Funktionen \(p(x)\) und \(g(x)\) (s.o.).

Und wie kann man das feststellen? Man macht sich zunutze, dass die x-Werte äquidistant sind - d.h. das Delta zweier auf einander folgender x-Werte ist immer konstant (hier \(\Delta x=0,2\)). Dann stellt man sich eine Tabelle auf, und berechnet die Differenzen der y-Werte und die Differenzen der Differenzen:$$\begin{array}{rr|rr}x& y& \Delta y& \Delta^2 y\\ \hline 0& 3,2& & \\ 0,2& 4,5& 1,3& \\ 0,4& 8,4& 3,9& 2,6\\ 0,6& 14,8& 6,4& 2,5\\ 0,8& 23,8& 9& 2,6\\ 1& 35,4& 11,6& 2,6\\ 1,2& 49,6& 14,2& 2,6\\ 1,4& 65,1& 15,5& 1,3\\ 1,6& 80,6& 15,5& 0\\ 1,8& 96& 15,4& -0,1\\ 2& 111,5& 15,5& 0,1\end{array}$$Sind die Werte \(\Delta y\) konstant, so handelt es sich um eine Gerade und sind die Werte in der Spalte \(\Delta^2 y\) konstant und verschieden von 0, so folgt dieses Stück einer Parabel.

Comments

Hallo Werner,
die ganze Aufgabe ist nicht stimmig.
Aufgrund des von mir geführtem Schriftwechsel
mit dem Fragesteller meine ich schließen
zu können das dieser noch am Anfang seiner
Mathematikerkarriere steht.
Die Antwort halb quadratisch, halb linear wäre
für ihn zu kompliziert.

Answer 5

eine quadratische Funktion kann allgemein ausgedrückt werden als

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

Du kannst drei Punkte aus deiner Wertetabelle nehmen nehmen, um a, b und c zu ermitteln.

z.B. Punkt (0,4|8,4), das ergibt, in die Gleichung eingesetzt

$$0,4^2a+0,4b+c=14,8$$

Das machst du mit zwei weiteren Punkten und erhältst ein Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen und prüfst, ob es eine Lösung gibt. Alternativ kannst du auch - das geht wahrscheinlich schneller bzw. ist gut zur Kontrolle geeignet - drei Punkte in diesen Rechner eingeben:

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Gruß, Silvia