Eigenschaften ganzrationaler Funktionen (im Aufgabenkontext)

Question

Aufgabe:

Die Temperaturmessung einer Wetterstation kann zwischen 7 und 18 Uhr durch die Funktion f(t) = -0,04t^3 + 1,31t^2 - 12,3t + 38,4 angenähert werden. Dabei gibt t die Uhrzeit an. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem die Temperatur am stärksten ansteigt.

Problem/Ansatz:

Habe die erste und zweite Ableitung berechnet. Bei der dritten kam f'''(t) = -0,024. Da gibt es halt kein t mehr. Wenn in der Aufgabe nach der stärksten Steigung gefragt wird, wollen die einen Wendepunkt. Aber die Lösung ist t = 10,92. Und das kommt bei der 2. Ableitung (wenn man sie gleich 0 setzt) raus. Wendepunkt ist doch die 3.Ableitung !?

Answer 1

t≈10.92 ist die Uhrzeit, zu der die Temperatur am stärksten steigt.

Answer 2

Den Wendepunkt bestimmst du mit der 2. Ableitung: f"(x)=0.

Allerdings gibt es Funktionen, bei denen dann doch kein Wendepunkt vorliegt, z.B. f(x)=x⁴

Wenn aber zusätzlich die dritte Ableitung ungleich Null ist, bist du sicher, dass ein Wendepunkt vorliegt.

Comments

Warum gehen so wenige auf das Vorzeichenwechselkriterium ein. Liegt es daran, dass dort zu viel erklärt werden muss?

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@coach:

Ja, ich wollte meine Antwort möglichst einfach halten.

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Ich wunder mich halt das die wenigsten Lehrer zumindest hier in meiner Region das Vorzeichenwechselkriterium zur Hilfe nehmen. Wobei man bei ganzrationalen Funktionen schon an der Vielfachheit der Nullstelle direkt sehen kann ob es ein Vorzeichenwechsel gibt oder nicht.

Aber nein. Die Lehrer hantieren alle lieber mit einer weiteren Ableitung. Das wundert mich nur immer etwas.

Weiterhin trägt sowas auch nicht zum wirklichen Verständnis für Nullstellen und Vielfachheiten bei.

Answer 3

f(t) = - 0.04·t^3 + 1.31·t^2 - 12.3·t + 38.4
f'(t) = - 0.12·t^2 + 2.62·t - 12.3
f''(t) = 2.62 - 0.24·t
f'''(t) = -0.24

Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem die Temperatur am stärksten ansteigt.

Da der Anstieg ja die erste Ableitung ist und hier ein Maximum des Anstiegs gesucht wird ist die Ableitung der Ableitung gleich Null zu setzen. Das ist auch die zweite Ableitung.

f''(t) = 2.62 - 0.24·t = 0 → t = 10.92 = 10:55 Uhr mit VZW von + zu - und damit ein Maximum von f'(t).

Schön finde ich es hier, wenn man den Zeitpunkt auch als Uhrzeit angibt.

Comments

VZW haben wir nicht gelernt. Generell kenne ich das so:

1) 2. Ableitung berechnen

2) Nullstellen der 2. Abl. berechnen

3) 3. Abl. berechnen

4) Nst. der 2. Abl. in die 3. Abl. einsetzen

    Wenn 3. Ableitung ungleich 0, dann ein W.P.

5) Nst. der 2. Abl. in f(x) einsetzen

So habe ich das auch gemacht:

1) f''(t) = -0,24t + 2,62

2) f''(t) = 0 => t=10,92

3) f'''(t) = -0,24 ungleich 0, also W.P.

4) f'''(10,92) = -0,24 und dann???? Hier bin ich echt am verzweifeln :(

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4) Nst. der 2. Abl. in die 3. Abl. einsetzen
    Wenn 3. Ableitung ungleich 0, dann ein W.P.

Das ist völlig richtig. Und was wäre wenn die 3. Ableitung gleich Null ist?

Wenn die 3. Ableitung Null ist
- hat man einen Wendepunkt an der Stelle.
- hat man keinen Wendepunkt an der Stelle.
- kann man keine Aussage treffen ob an dieser Stelle ein Wendepunkt ist.

4) f'''(10,92) = -0,24 und dann???? Hier bin ich echt am verzweifeln :(

weil f'''(10.92) < 0 ist hat man hier ein LR-Krümmungswechsel. Man kommt also von einer Links in eine Rechtskurve und damit ist hier ein lokales Maximum der Steigung.

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Wie kommt man auf 10:55 Uhr?

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Wie rechnest du 10.92 Stunden in Stunden und Minuten um?

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Ich verstehs nicht so ganz also im A Teil kam ja auch 7 bzw. 15 raus und da standen die Ereignisse jeweils für die Uhrzeit

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Glatte Zahlen stehen auch für glatte Uhrzeiten

7 steht für 7 Uhr

15 Steht für 15 Uhr

7.5 steht für 7 Stunden und 30 Minuten und dann für 7:30 oder nicht ?

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Achso jetzt. Danke :)

Answer 4

Aloha :)

Gesucht ist der stärkste Anstieg vom \(f(t)\). Daher brauchst du zunächst den Anstieg \(a(t)\), und das ist die erste Ableitung \(f'(t)\).

$$a(t)=f'(t)$$Von dieser Funktion brauchst du dann das Maximum. Also muss die erste Ableitung dieser Funktion eine Nullstelle haben.

$$a'(t)=f''(t)\stackrel{!}{=}0$$

Um sicher zu sein, dass es sich dabei um den gesuchten stärksten Anstieg handelt, muss die zweite Ableitung von \(a(t)\) kleiner als 0 sein.

$$a''(t)=f'''(t)=-0,024<0\quad\checkmark$$

Du musst also nur die zweite Ableitung \(f''(t)\) gleich 0 setzen und nach \(t\) auflösen.