hyberbolische Bewegung und Lorentz Skalarprodukt

Question

Ich habe eine kleine Frage zu folgender Aufgabe

Geben Sie eine (beliebige) hyperbolische Bewegung T:H1→H1mit T([1 : 2]) = [1 : 7] und       T([1 : 3]) = [1 : 3] in der Form T(⟨x⟩) =⟨Ax⟩ für eine Matrix A an.

Es ist Λ(x,y)=∑ (von i=0 bis n-1) über (x_iy_i -x_ny_n)

In der Lösung erhalten wir durch viele Rechenschritte die Matrix

Also istA=(−5λ    3λ           = λ (−5       3 

                  −3λ   5λ )                 −3       5).

Damit A inO(1,1) liegt, müssen wir noch zeigen, dass λ so gewählt werden kann, dass die erste Spalten von A bzgl. Λ–normiert ist. Wegen Λ((−5,−3),(−5,−3)) = 25−9 = 4², wählen wir λ= 1/4, d. h.  A=1/4  (−5       3

                                  −3      5).

Mit dieser Wahl ist A∈O(1,1)und T(⟨x⟩) =⟨Ax⟩ per Definition eine hyperbolischeBewegung. Außerdem erfüllt sieT([1 : 2]) = [1 : 7]undT([1 : 3]) = [1 : 3], wie gewünscht.

Dazu nun meine Frage. Wieso wählt man λ= 1/4 und nicht λ= 1/16, weil nur dann erhält man doch 1 oder?

Und meine zweite Frage ist, ist die Rechnung falsch wenn ich λ= 1 erhalte? Dann ist das Lorentz Skalarprodukt nicht erfüllt und die Rechnung falsch oder?

Wäre super wenn mir jemand weiterhelfen könnnte

Answer 1

Wieso wählt man λ= 1/4 und nicht λ= 1/16, weil nur dann erhält man doch 1 oder?

Es ist

            tA=(−5λ    3λ           = λ (−5       3 
                  −3λ   5λ )                 −3       5).

Also det(A) =  λ^2 * det    (−5       3     =   λ^2 * -16
                                          −3       5)

Comments

Ah ja klar, da stand ich wohl auf dem Schlauch.

Danke.

Und es muss dann λ=1/4 sein, damit alle Bedingungen erfüllt sind oer?

Also für λ=1 wären A nicht in O1,1) oder?

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Ah ja und könnte man λ =-1/4 wählen oder sind Minuszahlen hier nicht erlaubt??