Textaufgabe mit mehreren Unbekannten. Wieviele Autobuslinien und Haltestellen müssen angelegt werden?

Question

Aufgabe

Wieviele Autobuslinien und Haltestellen müssen angelegt werden?
In einer Stadt soll ein Netz von mindestens zwei Autobuslinien eingerichtet werden. Dieses Liniennetz soll folgenden Bedingungen genügen:
1) Auf jeder Linie gibt es genau drei Haltestellen.
2) Jede Linie hat mit jeder anderen Linie genau eine Haltestelle gemeinsam.
3) Es ist möglich, von jeder Haltestelle aus jede andere Haltestelle mit einer Linie zu erreichen, ohne zwischendurch auf eine andere Linie umsteigen zu müssen.
Hinweis: Die Autobusse fahren in beide Richtungen genau die gleichen Haltestellen an.
b = Anzahl der Autobuslinien, die es mindestens geben muss, um die Bedingungen zu erfüllen
c = Anzahl der Haltestellen, die es mindestens geben muss, um die Bedingungen zu erfüllen

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Idee wie ich der Lösung näher kommen könnte. Ich hab versucht das bildlich darzustellen bin aber gescheitert.

Comments

Sollte es nur eine Linie A mit den Haltestelllen A1, A2 und G geben und eine Linie B mit den Haltestellen B1, B2 und G (wobei G die einzige gemeinsame Haltestelle der Linien A und B ist),  dann wären die Direktfahrten von A1 nach B1, von A2 nach B1, von A1 nach B2 und von A2 nach B2 nicht möglich, sondern nur mit Umsteigen in G.

Also braucht man z.B. für eine Fahrt von A1 nach B1 ohne Umsteigen eine weitere Linie C, die A1 und B1 als zwei ihrer drei Haltestellen hat.

Versuche mal, ob du auf diese Art ein zutreffendes Netz aufbauen kannst.

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Aus welchem Wettbewerb ist diese interessante Aufgabe?

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Das habe ich bereits versucht und seitenweise busliniennetze gezeichnet um es mir besser vorstellen zu können. Aber letztlich waren Haltestellen nur durch umsteigen zu erreichen oder zwei Linien hatten zwei gemeinsame Haltestellen. Entsprach also immer nicht den Vorgaben.

Ich glaube das es mehr als drei Linien sein müssen...

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Aus gar keinem Wettbewerb sondern aus einem Mystery beim Geocaching.

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Ich habe 4 Buslinien und 6 Haltestellen. :-)

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Und wie kommst du ohne Umsteigen von der linken zur unteren Haltestelle?

Und wie vom Knotenpunkt BD zum Knotenpunkt AC?

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Finde das richtige Wörterbuch :   Liniennetz - Tetraeder

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Ups! Ist wohl doch nicht so einfach. :-)

Da mache ich aus meiner falschen Antwort lieber einen Kommentar.

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Dem kann ich mich anschließen.

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@Wolfgang

Warum war deine Lösung falsch?

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@ Herr_P

Wenn man die Endpunkte einer Linie als Haltestellen definiert, war 2) nicht erfüllt.

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@PendragonScar: Neue (unabhängige) Fragen bitte als "neue Frage" einstellen.

@Rest: Bitte Diskussionsstränge auseinander halten. (Besser unterschiedliche Antwortversuche und Diskussionen dazu nicht alle zu einem Kommentarmischmasch vereinigen). Wie soll den WS nach all den Kommentaren noch einen Beweis für seine Antwort ergänzen, ohne dass das unlesbar wird? @Beweis: Theorie zu Fano-Ebene dürfte einen Beweis der Zahl 7 enthalten. 

Wenn ihr wirklich aus eurer Antwort einen Kommentar machen möchtet, bitte das Menu öffnen und den Zielstrang sinnvoll wählen. "Zur Frage" ist oft weniger verwirrend als "zu einer vorhandenen Antwort". V.a., wenn ihr dann noch bearbeitet zu "Hier stand etwas Falsches" :)

Answer 1

Ich biete 7 Haltestellen mit 7 Linien

[spoiler]

Jede Haltestelle wird von drei Linien bedient

[/spoiler]

Comments

Sieht gut aus, das könnte es sein

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Leider kann ich nicht prüfen ob die Lösung richtig ist. Da gehört noch eine zweite Aufgabe zu an der ich noch knabbere.

Wenn ich die gelöst habe kann ich überprüfen ob beide Lösungen stimmen. Falls es jemanden interessiert die sieht so aus:

Wieviele Autobuslinien gibt es?
4 Geocacher, diegahntzies, PendragonScar, BatzFamilie und Aggroface machen je drei Aussagen über die Anzahl a der Autobuslinien. Nach Vereinbarung soll bei jedem mindestens eine Aussage wahr und mindestens eine Aussage falsch sein.
diegahntzies:
1) "Das Reziproke von a ist nicht kleiner als 1."
2) "a enthält in der dekadischen Darstellung keine 6."
3) "Die dritte Potenz von a ist kleiner als 221."
PendragonScar:
1) "a ist eine gerade Zahl."
2) "a ist eine Primzahl."
3) "a ist ein ganzzahliges Vielfaches von 5."
BatzFamilie:
1) "a ist irrational."
2) "a ist kleiner als 6."
3) "a ist ein Quadrat einer natürlichen Zahl."
Aggroface:
1) "a ist größer als 20."
2) "a ist eine positive ganze Zahl, deren dekadische Darstellung mindestens drei Stellen enthält."
3) "a ist nicht kleiner als 10."

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Leider kann ich nicht prüfen ob die Lösung richtig ist.

Du kannst dir doch die Skizze ansehen und Überprüfen ob die Bedingungen erfüllt sind oder nicht?

Deine Aussage ist ja in etwa so wie ich kann nicht prüfen ob 2 + 1 = 3 ist weil ich dafür erst herausbekommen muss wie man die Batterie in den Taschenrechner einlegt.

Also prüfe folgende Bedingungen ob sie erfüllt werden

1) Auf jeder Linie gibt es genau drei Haltestellen.
2) Jede Linie hat mit jeder anderen Linie genau eine Haltestelle gemeinsam.
3) Es ist möglich, von jeder Haltestelle aus jede andere Haltestelle mit einer Linie

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Ich habe in meinem Langzeitgedächtnis gegraben und mich erinnert, dass die Aufgabe etwas mit Projektiver Geometrie zu tun hat.

Die Forderungen, die an die Buslinien gestellt werden, entsprechen genau den Axiomen einer projektiven Ebene.

Das Minimalmodell solch einer Ebene enthält 7 Punkte und 7 Geraden und wird Fano-Ebene genannt.

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Vielen Dank für deinen prima Beitrag Herr_P.

Vor heute hatte ic noch nie etwas von einer projektiven Ebene gehört aber inzwischen bin ich nach einer kleinen Recherche bei Wikipedia etwas schlauer.

Und obwohl mir Werners künstlerischer Graph sehr gut gefällt möchte ich Euch den Graphen von Wikipedia nicht vorenthalten der zwar nicht so künstlerisch schön ist aber eine sehr nachvollziehbare Struktur hat.

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Das war es dann wohl auch, was hj2166 mit seinem - wie so oft kryptischen - Hinweis "Liniennetz Tetraeder" gemeint hat. Man muss ihn halt nur um Aufklärung bitten :-)

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Meinst du das obiges Dreieck ein Tetraeder ist?

Das schöne an kryptischen Kommentaren ist ja das man sehr viel hineininterpretieren kann.

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Ich meine, dass es die Projektion eines Tetraeders mit Seitenkanten, Höhen von 3 Seitenflächen auf die vierte (Grundfläche) und deren Inkreis darstellt.

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Höhen von 3 Seitenflächen

Interessant. Beginnen die Höhen der Seitenflächen nicht eigentlich in derem Zentrum.

Wie gesagt ich fand Interpretationen in Kunst und Deutsch schon immer sehr spaßig. Mich hätte da auch immer mal interessiert wie viel Promille von den Interpretationen tatsächliche Intentionen der Künstler gewesen waren.

Ich sehe oben nur ein gleichseitiges Dreieck mit Höhen und Inkreis.

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Der Tipp mit Wikipedia ist nicht schlecht.

https://de.wikipedia.org/wiki/Fano-Ebene

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„Ich kann nicht prüfen, ob 2 + 1 = 3 ist, weil ich dafür erst herausbekommen muss, wie man die Batterie in den Taschenrechner einlegt.“

@Der_Mathecoach: Dieser Spruch hat es in unseren Footer geschafft (!!!)

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MCs Kommentar zeigt doch nur, dass er den Fragesteller überhaupt nicht verstanden hat. Selbstverstädlich wird der bis drei zählen und die Anzahl der Haltestellen pro Linie überprüfen können.
Die Aufgabe fragt aber nach der Mindestanzahl, und wenn man nicht gerade "1" als Antwort geben möchte, so gehört zur richtigen Anwort der Nachweis, dass "7" die gesuchte Minimalzahl ist. (WS srach deshalb sehr schön von einem "Angebot".) Genau diesen Nachweis vermisst der Fragestelle und kann eben deshalb die Richtigkeit nicht prüfen.

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@Mathecoach

Interessant. Beginnen die Höhen der Seitenflächen nicht eigentlich in derem Zentrum.

Wenn 7 die Spitze des (projizierten) Tetraeders ist, dann sind 73 75 und 76 ja wohl die projizierten Höhen der drei Seitenflächen.

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.. ja so isses! Um noch einen drauf zu setzen: Ich habe inzwischen einen Beweis, der aber ein wenig länglich ist.

@PendragonScar: IMHO ist 7 Haltestellen und 7 Linien die Minimallösung.

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@PendragonScar: a=25 ist die einzige Zahl, zu der jede der vier Personen mindestens eine wahre und mindestens eine unwahre Aussage macht.

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Vielen Dank für die Antworten, Kommentare und Lösungen.

Leider ist eine der beiden Antworten nicht richtig, bin mir bei 7/7 eigentlich sicher das die richtig ist. Dann wär also die antwort a=25 nicht korrekt. Bekomme vom Aufgabensteller leider keine Antwort welche die falsche ist, daher reine Vermutung.

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@PendragonScar: hast Du denn die a=25 an Hand der Aufgabenstellung überprüft?

diegahntzies:
1) "Das Reziproke von a ist nicht kleiner als 1." (falsch)
2) "a enthält in der dekadischen Darstellung keine 6." (wahr)
3) "Die dritte Potenz von a ist kleiner als 221." (falsch)
PendragonScar:
1) "a ist eine gerade Zahl." (falsch)
2) "a ist eine Primzahl." (falsch)
3) "a ist ein ganzzahliges Vielfaches von 5." (wahr)
BatzFamilie:
1) "a ist irrational." (falsch)
2) "a ist kleiner als 6." (falsch)
3) "a ist ein Quadrat einer natürlichen Zahl." (wahr)
Aggroface:
1) "a ist größer als 20." (wahr)
2) "a ist eine positive ganze Zahl, deren dekadische Darstellung mindestens drei Stellen enthält." (falsch)
3) "a ist nicht kleiner als 10." (wahr)

Was stimmt denn daran nicht?

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Es stimmt alles. Aufgabensteller hat gerade einen Fehler in seiner Aufgabe entdeckt welche zu einem falschen Ergebnis führt ( wen wundert es). Mit der korrigierten Aufgabe komme ich auf die korrekte Lösung.

Die Lösung für a hatte ich mir auch angeschaut hatte aber Probleme mit zwei Behauptungen weil ich sie nicht gleich verstanden habe. Da hätte ich noch erst was nachlesen müssen um mir sicher zu sein.

Der Fehler lag letzten Endes in einer einfachen Rechen Aufgabe deren „Unbekannte“ a, b und c waren.