Berechne, wie viele DVD-Player bereitgestellt werden müssen

Question

Aufgabe:

Bei der Eröffnung eines bekannten IT-Fachmarktes werden am Eröffnungstag 5.000 Kunden erwartet, von denen schätzungsweise 21% einen besonders günstigen, in der Werbung angepriesenen DVD-Player kaufen.

1) Berechne, wie viele DVD-Player bereitgestellt werden müssen, damit das Angebot für die Kunden mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 98% verfügbar ist

Problem/Ansatz:

die Lösung besagt 1109, und man kommt ja darauf, indem man p(x<=n)>0,98 solvt

-> BinomialCDF (0,n,5000,0,21)>0,98

n=1109

aber eigentlich geht es doch darum wieviele mindestens bereitgestellt werden müssen, also p(x>=n)??? Warum nimmt man hier p(x<=n)

Comments

BinomialCDF (0,n,5000,0,21)>0,98

Ist das eine klasseninterne taschenrechnerorientierte Notation?

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ja

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Dann solltest Du vielleicht in einer allgemein verwendeten Notation mitteilen, was damit gemeint ist.

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Habe ich doch ==> p(x<=n) also die wahrscheinlichkeit für weniger/gleich (anders gesagt maximal) der unbekannten Größe

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An die Community hier: Habe ich etwas falsch gemacht, oder einen Bug im CAS gefunden?

Answer 1

In diesem Falle würde ich über die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung rechnen

NORMAL((k + 0.5 - 5000·0.21)/√(5000·0.21·0.79)) = 0.98 --> k = 1108.65

Es sind also 1109 Geräte vorzuhalten.

Eine Kontrolle mit der Binomialverteilung bestätigt das Ergebnis.

Comments

Danke für die Antwort, aber was genau haben sie da gemacht ;D? Ich kenne die Schreibweise so nicht. Ich kenne nur p(x=/>/< k)

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P(X ≤ k) = Φ((k + 0.5 - 5000·0.21)/√(5000·0.21·0.79)) = 0.98

Kennst du die Normalverteilung? Habt ihr die schonmal als Näherung verwendet?

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Ja genau ich weiss dass man durch p(x<=k) aufs  Ergebnis kommt, aber ich verstehe nicht ganz warum man p(x</=k) und nicht p(x>/=k) rechnet, es ist doch ein mindestwert und nicht Maximalwert gesucht?

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Ich zeichne Mal die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der Menschen auf die so eine Maschine kaufen möchten.

Im grünen Bereich langt die Anzahl der Geräte, die wir vorrätig haben. Aber in dem roten Bereich der unter 2% liegt, langt die Anzahl der Geräte leider nicht. Allerdings langt es eben nur in 2% der Fälle nicht und in 98% aller Fälle würde es langen.

Ist das so klar?

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ich meine wie man überhaupt auf diesen Ansatz kommt :)? also wenn man noch nicht weiss dass es 1109 sind. Dann sind doch eigentlich gesucht wieviele man mindestens braucht und nicht maximal aus 5000

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Ich frage mich wie viele Kunden maximal in 98% der Fälle kommen.

Und nicht, wie viele Geräte ich minimal bereithalten muss.

Das ist allerdings das Gleiche. Nur unsere Zufallsgröße ist die Anzahl der Käufer und nicht die der Geräte.

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ahh, das war mein Fehler :)). Vielen Dank !!

Answer 2

Es gilt

\(\displaystyle \sum \limits_{k=0}^{1109} \; \begin{pmatrix}5000 \\ k\end{pmatrix} \cdot \left(\frac{21}{100}\right)^{k} \cdot \left(1-\frac{21}{100}\right)^{5000-k} \approx 98 \; \% \)

Comments

Ich verstehe die Darstellung nicht ganz? Dargestellt ist p(x=k) bei X~B5000;0,21

Mit dem Summe zeichen habe ich noch nie gerechnet, daher habe ich ohne dieses gerechnet und komme für k auf 0

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damit kommt man auf k=0…

Nein, damit kommt man auf die gesuchten 1109.

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Ich verstehe die Darstellung nicht ganz? Dargestellt ist p(x=k) bei X~B5000;0,21
Mit dem Summenzeichen habe ich noch nie gerechnet, daher habe ich ohne dieses gerechnet und komme für k auf 0

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Mit dem Summenzeichen habe ich noch nie gerechnet

Ich nehme an, dem entspricht das C in der Privatnotation BinomialCDF.

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Aha.. aber dann kommt da k=0 raus :/. Wenn ich aber auch in Ihre Gleichung k=1109 setze komme ich auf 0.

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Du sollst auch nicht k = 1109 setzen, sondern die Summe für k = 0 bis k =1109 ausrechnen. Dann kommst Du auf 98 %. Darum ist 1109 die Lösung.

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Achso ja, dann bitte nochmal meine Frage lesen :). Ich weiss dass das so geht, ich verstehe aber nicht warum man das so macht. Also von 0 bis x sucht und nicht von x bis 5000. Verstehen Sie?

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Wenn 0 oder 1 oder 2 .... oder 1109 Kunden das Gerät wollen, was mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % geschieht, dann kriegen alle Besteller ihr Gerät, weil 1109 Geräte da sind.