Nullstellen der Funktion f(x) = 3x^4 - 12x^3 + 12x^2 - 3 berechnen

Question

Aufgabe: Gegeben sei die Funktion f(x) = 3x^4 - 12x^3 + 12x^2 - 3. Berechnen sie die Nullstellen.

Answer 1

f(x) = 3x^4 - 12x^3 + 12x^2 - 3 = 0

Satz fürs Merkheft:
Ist die Summe der Koeffizienten einer Funktion 0, so ist 1 eine Nullstelle.

Die Summe der Koeffizienten ist bei dir 3 + (-12) + 12 + (-3) = 0. Damit weißt du automatisch das 1 eine Nullstelle ist und machst eine Polynomdivision an der Stelle 1.

(3x^4 - 12x^3 + 12x^2 - 3) / (x - 1) = 3·x^3 - 9·x^2 + 3·x + 3 = 0

Die Summe der Koeffizienten des Restpolynoms ist 3 + (-9) + 3 + 3 = 0. Damit weißt du das 1 schon eine doppelte Nullstelle ist und machst nochmals eine Polynomdivision.

(3·x^3 - 9·x^2 + 3·x + 3) / (x - 1) = 3·x^2 - 6·x - 3 = 0

Das Restpolynom ist quadratisch und wir können nach Teilung durch 3 die pq-Formel anwenden

3·x^2 - 6·x - 3 = 0
x^2 - 2·x - 1 = 0 --> x = 1 ± √2 --> x = -0.4142 ∨ x = 2.4142

PS: Bei der Polynomdivision hilft dir folgende Seite

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm

Answer 2

Aloha :)

$$f(x)=3x^4-12x^3+12x^2-3=3(x^4-4x^3+4x^2-1)$$Gute Kandidaten für ganzzahlige Nullstellen sind immer alle Teiler des Terms ohne \(x\). Die Teiler von \(1\) sind \(\pm1\). Durch Probieren stellt man fest, dass \(1\) eine Nullstelle ist. Die Klammer lässt sich also durch \((x-1\)) dividieren:

$$\begin{array}{c}+1&-4&+4&+0&-1\\\downarrow&+1&-3&+1&+1\\+1&-3&+1&+1&0\end{array}$$$$\Rightarrow\quad f(x)=3(x^3-3x^2+x+1)(x-1)$$Wieder errät man in der "großen" Klammer die Nullstelle bei \(1\). Wir können also wieder durch \((x-1)\) dividieren:

$$\begin{array}{c}+1&-3&+1&+1&\\\downarrow&+1&-2&-1\\+1&-2&-1&0\end{array}$$$$\Rightarrow\quad f(x)=3(x^2-2x-1)(x-1)^2$$Die Nullstellen der verbliebenen "großen" Klammer kannst du mit der pq-Formel lösen:

$$x_{1,2}=-\frac{-2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)^2-(-1)}=1\pm\sqrt2$$Insgesamt haben wir also 3 Nullstellen gefunden:

$$x_1=1+\sqrt2\quad;\quad x_2=1-\sqrt2\quad;\quad x_3=1$$

Answer 3

Du kannst die Funktion wie folgt Faktorisieren $$ F(x) = 2 (x^2-2x-1) ( x-1)^2  $$ Jetzt kannst Du die Nullstellen mit der pq-Formel berechnen oder einfach ablesen.

Comments

Hat es eine Bewandnis das du F(x) geschrieben hast?

Und hat es auch etwas zu sagen das du einen Vorfaktor von 2 statt 3 benutzt?

Answer 4

Du kannst die Nullstellen mittels Polynomdivision oder Horner-  Schema

berechnen, je nachdem was Ihr gelernt habt.

Polynomdivision :

Die 1. Nullstelle mußt Du raten , hier =1

3x^4  - 12x^3  + 12x^2        - 3) : (x - 1)  =  3x^3 - 9x^2 + 3x + 3 
3x^4  -  3x^3                   
—————————————————————————————————
        - 9x^3  + 12x^2        - 3
        - 9x^3  +  9x^2         
        ——————————————————————————
                  3x^2        - 3
                  3x^2  - 3x   
                  ———————————————
                          3x  - 3
                          3x  - 3
                          ———————
                                0

nochmal Polynomdivision:

x= 1

(3x^3  - 9x^2  + 3x  + 3) : (x - 1)  =  3x^2 - 6x - 3 
3x^3  - 3x^2         
———————————————————————
      - 6x^2  + 3x  + 3
      - 6x^2  + 6x   
      —————————————————
              - 3x  + 3
              - 3x  + 3
              —————————
                      0

dann pq-Formel:

3x^2 - 6x - 3 =0 |:3

x^2 - 2x - 1=0

x_1.2= 1±√(1+1)

x_1.2= 1±√2

--> 4 Nullstellen

x_1,2= 1 (doppelte Nullstelle)

x_3.4 = 1±√2