Schneidet die Gerade den Graphen der Funktion f mit f(x)= 4x^2 -42x - 36?

Question

Aufgabe:

Schneidet die Gerade g(x)= - 2x + 8 die Funktion f(x)= 4x² -42x - 36

Problem/Ansatz:

Wie finde ich das heraus?

Danke euch schon einmal im Voraus.

Comments

Schneidet die Gerade g(x)= - 2x + 8 die Funktion f(x)= 4x^2 -42x - 36

Wenn nicht explizit nach den Koordinaten der Schnittpunkte gefragt ist, schreibst brauchst du die nicht auszurechnen. Entweder du berechnest die Schnittstellen und weisst dann, wie viele Schnittpunkte es gibt oder du sparst dir sogar diese Rechnung und argumentierst ohne Rechnung, wie Herr_P das gemacht hat.

Answer 1

4x^2 - 42x - 36 = -2x + 8

4x^2 - 40x - 44 = 0

x^2 - 10x - 11 = 0

(x + 1)(x - 11) = 0

x = -1 oder x = 11

Die Gerade schneidet die Parabel also an 2 Stellen.

Comments

Man kann hier statt der faktorisierung auch die pq-formel anwenden.

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Ja das geht auch. Der Satz von Vieta ist in diesem Fall allerdings deutlich schneller.

Answer 2

Wenn du nur sagen musst, ob es Schnittpunkte gibt, also ohne die genauen Koordinaten anzugeben, kannst du folgendermaßen argumentieren.

Die Parabel zur Funktion f ist nach oben geöffnet und schneidet die y-Achse bei -36, also unterhalb der x-Achse.

Die Gerade g fällt und schneidet die y-Achse bei +8. Da die Parabel für betragsmäßig immer größere x-Werte immer steiler verläuft, muss sie die Gerade links und rechts von der y-Achse schneiden.

(Ob du schon den Begriff der Stetigkeit kennst weiß ich nicht, deshalb lasse ich ihn lieber weg.)

Answer 3

Du setzt g(x)=f(x) und löst nach x.

Ich erhalte x_{1}=-1 oder x_{2}=11

Answer 4

Aloha :)

Um die Schnittpunkte zu finden, musst du die beiden Funktionen gleichsetzen und die entstehende Gleichung nach \(x\) auflösen:

$$\left.4x^2-42x-36=-2x+8\quad\right|\;+2x-8$$$$\left.4x^2-40x-44=0\quad\right|\;:4$$$$\left.x^2-10x-11=0\quad\right|\text{Beachte: }(-11)+1=-10\quad;\quad(-11)\cdot1=-11$$$$(x-11)(x+1)=0$$$$x_1=11\quad;\quad x_2=-1$$

Es gibt also 2 Schnittpunkte zwischen der Parabel und der Geraden.

Comments

Das logische Und ist hier m. E. nicht richtig. \(x_1\) und \(x_2\) sind eigenständige Lösungen.

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Lol, in Köln sagen wir: "Man kann auch nen Hering ins Knie pitschen." ;)

Habe ein schönes Semikolon daraus gemacht.

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Hip, Hop, Schoppe in de Kopp!

Answer 5

Andere Möglichkeit (ohne Lösen einer qu. Gl):

Die Gerade g hat den Anstieg -2.

Die Funktion hat die Ableitung 8x-42, und diese Ableitung ist -2 an der Stelle x=5.5.

An der Stelle 5,5 hat g(x) den Funktionswert -3, während f(5,5)=-146 ist.

Damit liegt die Gerade höher als die Tangente der Stelle 5,5 und schneidet deshalb die nach oben geöffnete Parabel.