Gerade schneidet Parabel gesucht minimaler Flächeninhalt?

Question

Dringend Hilfe gesucht

Ich bekomme die Aufgabe leider nicht gelöst. Ich bin jetzt schon mehrere alte Klausuren durchgegangen diese Aufgabe scheint in dieser Form sehr häufig dranzukommen weswegen ich diesen Typ von Aufgaben gern hinkriegen würden. Kann man jemand bitte mal eine exilarische Lösung geben. Ich scheitere leider schon am Anfang. Besonders interessant wäre welche Bedingung man aufstellt um Amin zu erhalten. Ich danke vielmals im Voraus für eure Mühen!

Answer 1

g(x) = m·(x + 1) + 1 = m·x + m + 1

f(x) = 0.5·x^2

d(x) = f(x) - g(x) = 0.5·x^2 - (m·x + m + 1) = 0.5·x^2 - m·x - m - 1

Schnittstellen d(x) = 0

0.5·x^2 - m·x - m - 1 = 0 --> x = m ± √(m^2 + 2·m + 2)

A = ∫(0.5·x^2 - m·x - m - 1, x, m - √(m^2 + 2·m + 2), m + √(m^2 + 2·m + 2)) = - 2·(m^2 + 2·m + 2)^{3/2}/3

A' = - 2·(m + 1)·√(m^2 + 2·m + 2) = 0 --> m = - 1

A = - 2·((-1)^2 + 2·(-1) + 2)^{3/2}/3 = - 2/3 --> Die Fläche beträgt minimal 2/3 FE.

Skizze:

~plot~ 0.5x^2;-x ~plot~

Answer 2

Sieht der Sachverhalt so aus ?



Dann wäre A(min) = 0 und die Gerade wäre die Tangente.

Bin gern weiter behilflich.

Comments

Genau so sieht der Sachverhalt eben nicht aus. Die Tangentenlösung ist es also nicht.

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Korrektur. Der Sachverhalt sieht so aus.

Rot : eine Beispielgerade

~plot~ x^2/2 ; { -1 | 1 } ; -0.5 * x + 0.5 ~plot~

Bin gern weiter behilflich.

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m = -1 . A = 2 / 3.

Answer 3

~plot~ -(x+1)+1; 2(x+1) +1;0.5x^2 ~plot~

Du siehst, ein möglicher Ansatz für die Geradengleichung ist

y = a(x+1) + 1.   [ Ursprungsgerade geeignet verschoben] 

y = ax + a + 1

Nun mal allgemein die Schnittstellen mit y = 0.5x^2 ausrechnen und dann geeignet integrieren, damit die Fläche von a abhängt.

Zum Schluss dann nach a ableiten und die Ableitung 0 setzen. 

EDIT: Übrigens: Mein a ist gerade das gesuchte m. Damit dann noch die minimale Fläche ausrechnen.  

Answer 4

Die Geraden mit der Steigung m durch den Punkt (-1/1) haben die Gleichungsschar y=mx+1+m. Die Geraden schneiden die Parabel in x₁ = m-√(m²+2m+2) und x₂ = m+√(m²+2m+2). Das Integral in den Grenzen von x₁ bis x₂ von (mx+1+m-x²/2) ist die zu minimierende Fläche. Also Stammfunktion bestimmen, Grenzen einsetzen und dann das übliche Progamm zur Extremwertbestimmung.

Answer 5

Die Gleichung der Geraden können wir mit \(y=m(x+1)+1\) ansetzen. Einsetzen in die Parabelgleichung ergibt dann \(2\left(m(x+1)+1\right)=x^2\). Dies ist eine quadratische Gleichung in \(x\). Abhängig von \(m\) hat sie zwei Lösungen, dies sind die Integrationsgrenzen zur Bestimmung Größe der Einschlussfläche \(A(m)\) in Ahängigkeit von \(m\). Nun müssen noch die Extremstellen von \(A\) bestimmt werden.

Comments

EDIT: Mir fällt gerade auf, dass " Einschlussfläche \A(m)\)  " nicht umgewandelt wird. Hast du dich vertan oder stimmt mit der Umwandlung etwas nicht? 

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Ich war so frei es zu korrigieren.

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Da hatte ich wohl eine öffnende Klammer vergessen, danke für die Korrektur!