Beweis: Sei k, a, b ∈ ℕ. Wenn k = a · b, dann gilt: a ≤ √k oder b ≤ √k

Question

Beweisen Sie folgenden Satz:

$$Seien~k,a,b \in \mathbb{N}.$$
$$Wenn~k = a\cdot b,~dann~gilt~a \leq \sqrt{k}~oder~b \leq \sqrt{k}$$

Comments

Da fehlt wohl etwas :-)

Sei k, a, b ∈ von was?

dann gilt a ≤ was oder b ≤ was ?

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Oh ja stimmt... Entschuldigung, das Programm hat es nicht eingefügt.

Jetzt aber: :-)

Sei k, a, b ∈ ℕ.

Wenn k = a · b,
dann gilt: a ≤ √k oder b ≤ √k .

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Habs mal korrigiert.

Answer 1

Mh,

 

ich würde vielleicht so daran gehen:

k = a * b => (a ≤ √k) V (b ≤ √k)

<=>

¬ [ (a ≤ √k) V (b ≤ √k) ] => ¬ (k = a * b)

(a > √k ∧ b > √k) => k ≠ a * b

a = √k + x, x > 0

b = √k + y, y > 0

Dann ist

a * b = (√k + x) * (√k + y) = k + √k * y + √k * x + xy = k + (x + y) * √k + xy ≠ k

weil k > 0, x > 0, y > 0

 

Ich hoffe, meine wirren Gedankengänge sind nachvollziehbar :-)

 

Besten Gruß