Sei K ein Körper und a, b ∈ K. Beweisen Sie: Wenn a · b = 0 ist, dann ist a = 0 oder b = 0.

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper und a, b ∈ K.
Beweisen Sie: Wenn a · b = 0 ist, dann ist a = 0 oder b = 0.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Im Folgenden sei \(0\in K\) das neutrale Element der "Addition" und \(1\in K\) das neutrale Element der "Multiplikation" in dem Körper \(K\).

Für zwei Elemente \(a\) und \(b\) aus einem Körper \(K\) wollen wir zeigen:$$a\cdot b=0\quad\implies\quad a=0\;\text{ oder }\;b=0$$Dazu machen wir folgende Fallunterscheidung.

1. Fall: \(a=0\)

In diesem Fall ist nichts zu tun, denn sicher sind \(a\cdot b=0\) und \(a=0\).

2. Fall: \(a\ne0\)

Wegen \(a\ne0\) gibt es ein inverses Element \(a^{-1}\) mit \(a^{-1}\cdot a=1\), sodass gilt:

$$a^{-1}\cdot(a\cdot b)=a^{-1}\cdot0\implies\left(a^{-1}\cdot a\right)\cdot b=0\implies1\cdot b=0\implies b=0$$