Faires Glücksrad, erwartete Spieldauer

Question

Aufgabe:

Ein faires Glücksrad ist mit den Zahlen 1 bis n beschriftet. $$\begin{array}{l}{\text { Nach jeder Drehung kann Agathe zwischen der Auszahlung des entsprechenden Betrags }} \\ {\text { in Euro und einem neuen Versuch wählen. Allerdings kostet jeder Versuch, inklusive des }} \\ {\text { ersten, } 1 \text { EUR. Ihr Freund Balthasar, der sich mit Glücksspielen auskennt, rät ihr zu }} \\ {\text { folgender Strategie: Agathe soll exakt so viele Runden spielen, bis das Gliucksrad zum }} \\ {\text { ersten Mal mindestens } k \text { EUR zeigt, wobei } k \in\{1, \ldots, n\} \text { vor der ersten Runde festgelegt }} \\ {\text { wird. Analysieren Sie die Strategie in Abhängigkeit von } k .}\end{array}$$

$$\begin{array}{l}{\text { 1. Wie viele Runden spielt Agathe erwartungsgemäß? }} \\ {\text { 2. Wie hoch ist Agathes erwartete Auszahlung nach Abzug der Spielgebühren? }} \\ {\text { Hinweis: Es gilt } \sum_{i=k}^{n} i=\frac{1}{2} \cdot(n-k+1) \cdot(n+k) \text { . }}\end{array}$$

Problem/Ansatz:

Bei der 1. ist mir unklar, ob und wenn ja wie ich den Erwartungswert anwenden soll. Die 2. ist mir leider auch unklar. Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Wie viele Runden spielt Agathe erwartungsgemäß?

Die Anzahl der Runden, die Agathe spielt, ist geometrisch verteilt.

Comments

also E[X] = 1/(1/n) = n?

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Das hieße, dass E(X) unabhängig von k ist.

Bei 20 Feldern auf dem Glücksrad haben dann die Zufallsversuche

    Agathe spielt bis das Glücksrad zum ersten Mal mindestens 1 EUR zeigt.

und

    Agathe spielt bis das Glücksrad zum ersten Mal mindestens 20 EUR zeigt.

laut deiner Rechnung den gleichen Erwartungswert. Das scheint mir nicht richtig zu sein.

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Also irgendwie stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch. Die Wahrscheinlichkeit das Feld k zu treffen ist doch 1/n, da es n Felder gibt. Und der Erwartungswert von einer geometrisch Verteilten Zufallsvariable definiert als E[X] = 1/p, oder müssen wir hier mit dem bedingten Erwartungswert arbeiten?

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Die Wahrscheinlichkeit das Feld k zu treffen ist doch 1/n, da es n Felder gibt.

Ja. Aber das Feld k muss gar nicht getroffen werden um das Spiel zu beenden. Auch bei den Feldern k+1, k+2, ..., n wird das Spiel beendet. Das ist, was mit "mindestens" gemeint ist.

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Oh stimmt, dass hatte ich die ganze Zeit überlesen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit ein Feld größer gleich k zu treffen n-k+1/k und somit ist E[X] = k/n-k+1, richtig?

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Dann ist die Wahrscheinlichkeit ein Feld größer gleich k zu treffen n-k+1/k

(n-k+1)/n

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ups, natürlich