Faires Spiel µ nicht 0?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

In einem Behälter befinden sich vier weiße und fünf schwarze Kugeln. Dazu wird ein Spiel angeboten. Der Spieler bezahlt zunächst einen Einsatz von 2 Euro; dieser Betrag wird neben dem Behälter ausgelegt. Anschließend muss der Spieler aus dem Behälter zweimal nacheinander eine Kugel zufällig ziehen und wieder zurücklegen. Nach jedem der beiden Züge wird der ausliegende Betrag vom Spielleiter verdoppelt, wenn eine weiße Kugel gezogen wird, und sonst halbiert. Nach dem Spiel erhält der Spieler den dann ausliegenden Betrag.
a Der Term \( 8 \cdot\left(\frac{4}{9}\right)^{2}+2 \cdot 2 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{9}+\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{5}{9}\right)^{2} \) gibt den Erwartungswert für den Betrag in Euro an, den der Spieler nach dem Spiel erhält. Geben Sie die Bedeutung des zweiten der drei Summanden im Sachzusammenhang an und erläutern Sie Ihre Angabe.
b Ermitteln Sie, wie das Verhältnis der Anzahlen der weißen und schwarzen Kugeln im Behälter gewählt werden müsste, damit Spieler und Spielleiter die gleiche Gewinnerwartung haben.

Hallo, ich habe eine Frage zur b)

Und zwar, weshalb wird bei der Lösung der Erwartungswert mit 2 gleichgesetzt?

Die 2 Euro sind ja der Einsatz.. aber faires Spiel bedeutet ja immer E(x)=0

Answer 1

Ein Spiel ist genau dann fair, wenn der erwartete Gewinn 0 beträgt oder wenn die erwartete Auszahlung dem Einsatz entspricht. Da hier der Erwartungswert für die Auszahlung angegeben ist, muss dieser also mit dem Einsatz gleichgesetzt werden. Dann bekommst du im Schnitt so viel zurück wie du gesetzt hast. Das ist aber gleichbedeutend damit, dass du im Schnitt keinen Gewinn hast.

Also immer darauf achten, ob die Zufallsvariable den Gewinn oder die Auszahlung beschreibt.

Comments

Dankeschön aber ich habe ein paar Nachfragen:

Die Gleichung:

Text erkannt:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine weiße Kugel zu ziehen, wird mit p bezeichnet.
\( 8 \cdot p^{2}+2 \cdot 2 \cdot p \cdot(1-p)+\frac{1}{2} \cdot(1-p)^{2}=\frac{9}{2} p^{2}+3 p+\frac{1}{2} \)

dies ist ja die Gleichung die die erwartete Auszahlung beschreibt.

Und es soll ja mit der Auszahlung wie gesagt gleichgesetzt werden, damit es fair ist.

Allerdings sind diese 2€ doch schon in der Gleichung drin?

Ich meine die 8€ * p^2

da kommen die 8 Euro vom 2 Euro Einsatz welcher bei Seite gelegt wird und durch 2mal weiß also p wird diese 2 mal verdoppelt und es gibt 8€ Gewinn.

Also nur das irritiert mich etwas. Der Einsatz ist schon im Gewinn drin und trotzdem muss diese Gleichung mit dem Einsatz gleichgesetzt werden?

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Der Spieler erhält den ausliegenden Betrag. Das ist also eine Auszahlung. Klar ist der Einsatz da mit drin, allerdings ist er ja um 2 Euro ärmer. Sein Gewinn beträgt also nur Auszahlung minus 2 Euro.

Wenn du mir 2 Euro gibst und ich gebe dir dann 8 Euro... Wie viel hast du dann mehr als vorher? ;)

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Dann habe ich 6 Euro mehr als zuvor^^

Also wenn man die 2 Euro Einsatz bei Seite legt, kriegt man bei 2x weiß, 8 Euro und hat damit 6 Euro Gewinn gemacht..

Soll ich jetzt den Gewinn für zb zwei mal weiß also 6Euro*p^2.. mit 0 setzen?

Oder muss die Auszahlung mit dem Einsatz gleichgesetzt werden (das geht nicht in mein Kopf rein).. Die Gleichung sagt ja aus, wie viel er bekommt wenn er ein Ereignis trifft zb 2mal weiß. Es sagt also erstmal nicht aus wie viel Gewinn er macht sondern nur wie viel er ausgezahlt bekommen könnte, weil er könnte ja auch Verlust machen wenn er zwei mal schwarz trifft und dann von den 2€ die er bezahlt hat nur 0,5€ kriegt.

Also was die Gleichung aussagt, verstehe ich.

Aber µ=Einsatz verstehe ich nicht.

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Das habe ich ja in meiner Antwort erklärt. Es ist das, was er bekommt. Und damit das Spiel fair ist, muss das, was er bekommt genau so groß sein, wie das, was er bezahlt, damit er am Ende einen erwarteten Gewinn von 0 hat.

Du kannst die Rechnung auch mit dem Gewinn machen und setzt dann gleich 0. Das Ergebnis ist dann das gleiche.

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Achsoo jetzt verstehe ich. Dankeschön

kannst du mir nur diese Frage noch beantworten:

"Ob Zufallsvariable den Gewinn oder die Auszahlung beschreibt."

Ich bin mir nur unklar was der Begriff Zufallsvariable hier bedeutet.

Es ist ja in dem Fall, die WK eine weiße Kugel zu ziehen also p oder?

Das ist die Zufallsvariable

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Evtl. hattet ihr auch den Begriff Zufallsgröße. Das ist die Größe \( X \), die vom Zufall abhängt, also in diesem Fall die Auszahlung. Man schreibt ja für gewöhnlich auch \( E[X] \) für den Erwartungswert oder \( P(X=4) \), wenn man Wahrscheinlichkeiten berechnet.

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Achsoo ja Zufallsgröße kenne ich

danke danke

Answer 2

Der Erwartungswert muss dem Einsatz entsprechen.

https://www.kapiert.de/mathematik/klasse-7-8/daten-zufall/wahrscheinlichkeiten-anwenden/erwartungswerte-berechnen/

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Der Erwartungswert der Auszahlung muss dem Einsatz entsprechen.